Номер 1.108, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.10*. Задачи с целочисленными неизвестными. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.108, страница 44.

1.108 Решите уравнение:

a) $x^2 - 4x + y^2 + 4y + 8 = 0$;

б) $x^2 - 4x + y^2 + 4y + 9 = 0$.

а) $x^2 - 4x + y^2 + 4y + 8 = 0$

Для решения этого уравнения с двумя переменными применим метод выделения полного квадрата для каждой переменной. Этот метод позволяет преобразовать уравнение к виду, из которого легко найти решение.

Сначала сгруппируем слагаемые, содержащие $x$ и $y$:

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 4y) + 8 = 0$

Теперь дополним каждую группу до полного квадрата. Для этого воспользуемся формулами квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Для выражения $x^2 - 4x$ не хватает слагаемого $(\frac{4}{2})^2 = 2^2 = 4$.

Для выражения $y^2 + 4y$ не хватает слагаемого $(\frac{4}{2})^2 = 2^2 = 4$.

Чтобы уравнение осталось верным, добавим и вычтем эти числа в левой части:

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + 8 = 0$

Теперь мы можем свернуть выражения в скобках в полные квадраты:

$(x-2)^2 + (y+2)^2 - 4 - 4 + 8 = 0$

Приведем подобные слагаемые (константы):

$(x-2)^2 + (y+2)^2 = 0$

Сумма двух квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен (больше или равен нулю).

Следовательно, мы получаем систему уравнений:

$\begin{cases} (x-2)^2 = 0 \\ (y+2)^2 = 0 \end{cases}$

Из этой системы находим значения $x$ и $y$:

$x - 2 = 0 \implies x = 2$

$y + 2 = 0 \implies y = -2$

Таким образом, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $x=2, y=-2$.

б) $x^2 - 4x + y^2 + 4y + 9 = 0$

Решим это уравнение аналогично предыдущему, используя метод выделения полного квадрата.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$:

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 4y) + 9 = 0$

Выделим полные квадраты. Как и в пункте а), для этого нужно добавить 4 к группе с $x$ и 4 к группе с $y$. Чтобы не изменить уравнение, эти же числа вычтем:

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + 9 = 0$

Свернем полные квадраты и упростим числовые слагаемые:

$(x-2)^2 + (y+2)^2 - 8 + 9 = 0$

$(x-2)^2 + (y+2)^2 + 1 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$(x-2)^2 + (y+2)^2 = -1$

Проанализируем полученное уравнение. В левой части стоит сумма двух квадратов. Для любых действительных чисел $x$ и $y$ выполняются неравенства $(x-2)^2 \ge 0$ и $(y+2)^2 \ge 0$. Следовательно, их сумма также всегда неотрицательна: $(x-2)^2 + (y+2)^2 \ge 0$.

В правой части уравнения стоит отрицательное число (-1). Неотрицательная величина не может быть равна отрицательной.

Следовательно, данное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: нет решений.