Номер 1.105, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.10*. Задачи с целочисленными неизвестными. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.105, страница 44.

1.105 Найдите семь пифагоровых треугольников.

Пифагоров треугольник — это прямоугольный треугольник, у которого длины всех трёх сторон являются целыми числами. Эти три числа $(a, b, c)$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза, образуют так называемую пифагорову тройку и удовлетворяют теореме Пифагора:

$a^2 + b^2 = c^2$

Существует бесконечное множество таких треугольников. Все примитивные пифагоровы тройки (в которых числа $a, b, c$ взаимно просты) можно сгенерировать с помощью формулы Евклида. Для этого берутся два взаимно простых натуральных числа $m$ и $n$ ($m > n$), имеющие разную чётность. Стороны треугольника вычисляются по формулам:

$a = m^2 - n^2$

$b = 2mn$

$c = m^2 + n^2$

Ниже приведены семь примеров пифагоровых треугольников с проверкой.

1. Треугольник (3, 4, 5)

Это самая известная пифагорова тройка, также известная как "египетский треугольник". Она получается при $m=2$ и $n=1$.

Проверка:

$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$5^2 = 25$

Так как $25 = 25$, треугольник является пифагоровым.

Ответ: (3, 4, 5).

2. Треугольник (5, 12, 13)

Эта тройка получается при $m=3$ и $n=2$.

Проверка:

$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

$13^2 = 169$

Так как $169 = 169$, треугольник является пифагоровым.

Ответ: (5, 12, 13).

3. Треугольник (8, 15, 17)

Эта тройка получается при $m=4$ и $n=1$.

Проверка:

$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$

$17^2 = 289$

Так как $289 = 289$, треугольник является пифагоровым.

Ответ: (8, 15, 17).

4. Треугольник (7, 24, 25)

Эта тройка получается при $m=4$ и $n=3$.

Проверка:

$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$

$25^2 = 625$

Так как $625 = 625$, треугольник является пифагоровым.

Ответ: (7, 24, 25).

5. Треугольник (20, 21, 29)

Эта тройка получается при $m=5$ и $n=2$.

Проверка:

$20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$

$29^2 = 841$

Так как $841 = 841$, треугольник является пифагоровым.

Ответ: (20, 21, 29).

6. Треугольник (9, 40, 41)

Эта тройка получается при $m=5$ и $n=4$.

Проверка:

$9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$

$41^2 = 1681$

Так как $1681 = 1681$, треугольник является пифагоровым.

Ответ: (9, 40, 41).

7. Треугольник (12, 35, 37)

Эта тройка получается при $m=6$ и $n=1$.

Проверка:

$12^2 + 35^2 = 144 + 1225 = 1369$

$37^2 = 1369$

Так как $1369 = 1369$, треугольник является пифагоровым.

Ответ: (12, 35, 37).