Номер 1.100, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.9*. Сравнения по модулю m. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.100, страница 40.

1.100* Найдите последнюю цифру числа $9^{9^9}$.

Чтобы найти последнюю цифру числа $9^{9^9}$, необходимо проанализировать закономерность, по которой меняются последние цифры степеней числа 9.

Рассмотрим несколько первых степеней числа 9:

$9^1 = 9$

$9^2 = 81$

$9^3 = 729$

$9^4 = 6561$

Можно заметить, что последние цифры степеней числа 9 циклически повторяются с периодом 2: (9, 1, 9, 1, ...).

Таким образом, последняя цифра числа $9^n$ зависит от четности показателя степени $n$:

– если $n$ является нечетным числом, то последняя цифра числа $9^n$ равна 9;

– если $n$ является четным числом, то последняя цифра числа $9^n$ равна 1.

В нашем случае показатель степени — это число $9^9$. Нам нужно определить четность этого числа.

Число 9 — нечетное. Произведение нечетных чисел всегда является нечетным числом. Следовательно, любая натуральная степень нечетного числа будет нечетной. Число $9^9$ представляет собой произведение девяти девяток ($9 \times 9 \times \dots \times 9$). Так как мы перемножаем нечетные числа, результат $9^9$ будет нечетным числом.

Поскольку показатель степени $9^9$ — нечетное число, последняя цифра исходного числа $9^{9^9}$ будет 9.

Ответ: 9