Номер 1.94, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.9*. Сравнения по модулю m. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.94, страница 40.

1.94 Докажите свойства 1–4 сравнений.

Доказательство свойств сравнений основывается на определении: два целых числа $a$ и $b$ называются сравнимыми по модулю $m$ (где $m$ — натуральное число, $m>1$), если их разность $(a-b)$ делится нацело на $m$. Запись $a \equiv b \pmod{m}$ означает, что существует такое целое число $k$, что $a - b = km$.

1. Свойство рефлексивности

Для любого целого числа $a$ справедливо сравнение $a \equiv a \pmod{m}$.

Доказательство. Рассмотрим разность $a - a$. Она равна $0$. Число $0$ можно представить в виде $0 \cdot m$, где $0$ — целое число. Это означает, что разность $(a-a)$ делится на $m$. Следовательно, по определению сравнения, $a \equiv a \pmod{m}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: свойство рефлексивности доказано.

2. Свойство симметричности

Если $a \equiv b \pmod{m}$, то $b \equiv a \pmod{m}$.

Доказательство. Пусть дано, что $a \equiv b \pmod{m}$. По определению это означает, что разность $(a - b)$ делится на $m$. Значит, существует такое целое число $k$, что $a - b = km$. Умножим обе части этого равенства на $-1$: $-(a - b) = -km$, что равносильно $b - a = (-k)m$. Так как $k$ — целое число, то и $(-k)$ является целым числом. Отсюда следует, что разность $(b - a)$ делится на $m$. Следовательно, по определению сравнения, $b \equiv a \pmod{m}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: свойство симметричности доказано.

3. Свойство транзитивности

Если $a \equiv b \pmod{m}$ и $b \equiv c \pmod{m}$, то $a \equiv c \pmod{m}$.

Доказательство. Пусть дано, что $a \equiv b \pmod{m}$ и $b \equiv c \pmod{m}$. Из первого сравнения следует, что существует целое число $k_1$, такое что $a - b = k_1m$. Из второго сравнения следует, что существует целое число $k_2$, такое что $b - c = k_2m$. Нам необходимо доказать, что $a \equiv c \pmod{m}$, то есть что разность $(a-c)$ делится на $m$. Представим разность $(a-c)$ в виде суммы: $a - c = (a - b) + (b - c)$. Подставим известные выражения для $(a-b)$ и $(b-c)$: $a - c = k_1m + k_2m$. Вынесем общий множитель $m$ за скобки: $a - c = (k_1 + k_2)m$. Поскольку $k_1$ и $k_2$ — целые числа, их сумма $(k_1 + k_2)$ также является целым числом. Это означает, что разность $(a-c)$ делится на $m$. Следовательно, $a \equiv c \pmod{m}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: свойство транзитивности доказано.

4. Свойство сложения и умножения сравнений

Если $a \equiv b \pmod{m}$ и $c \equiv d \pmod{m}$, то:

• $a + c \equiv b + d \pmod{m}$ (сложение)
• $a \cdot c \equiv b \cdot d \pmod{m}$ (умножение)

Доказательство. Из условий $a \equiv b \pmod{m}$ и $c \equiv d \pmod{m}$ следует, что существуют целые числа $k_1$ и $k_2$ такие, что $a - b = k_1m$ и $c - d = k_2m$.

а) Сложение:

Рассмотрим разность $(a+c) - (b+d)$. Перегруппируем слагаемые: $(a - b) + (c - d)$. Подставим известные выражения: $k_1m + k_2m = (k_1 + k_2)m$. Так как $(k_1+k_2)$ — целое число, разность $(a+c) - (b+d)$ делится на $m$. Следовательно, $a+c \equiv b+d \pmod{m}$.

б) Умножение:

Рассмотрим разность $ac - bd$. Из $a - b = k_1m$ следует, что $a = b + k_1m$. Аналогично, $c = d + k_2m$. Подставим эти выражения в разность $ac - bd$:

$ac - bd = (b + k_1m)(d + k_2m) - bd$

Раскроем скобки:

$ac - bd = (bd + bk_2m + dk_1m + k_1k_2m^2) - bd$

Упростим выражение, сократив $bd$:

$ac - bd = bk_2m + dk_1m + k_1k_2m^2$

Вынесем $m$ за скобки:

$ac - bd = m(bk_2 + dk_1 + k_1k_2m)$

Поскольку $b, d, k_1, k_2, m$ — целые числа, выражение в скобках $(bk_2 + dk_1 + k_1k_2m)$ также является целым числом. Это означает, что разность $ac - bd$ делится на $m$. Следовательно, $ac \equiv bd \pmod{m}$.

Оба утверждения доказаны.

Ответ: свойство сложения и умножения сравнений доказано.