Номер 1.88, страница 38 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 1. Действительные числа. 1.8*. Делимость целых чисел - номер 1.88, страница 38.

Условие.

1.88 Найдите все целые числа, которые при делении и на $4$, и на $3$, и на $2$ дают остаток $1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $x$ — искомое целое число. Условие, что число при делении на 4, на 3 и на 2 дает остаток 1, можно записать в виде системы сравнений по модулю:
$x \equiv 1 \pmod{4}$
$x \equiv 1 \pmod{3}$
$x \equiv 1 \pmod{2}$

Эта система равносильна тому, что разность $(x - 1)$ делится нацело на 4, на 3 и на 2 одновременно. Следовательно, число $(x - 1)$ должно быть кратно их наименьшему общему кратному (НОК).

Найдем НОК для чисел 4, 3 и 2. Так как любое число, делящееся на 4, автоматически делится и на 2, условие делимости на 2 является избыточным, и нам достаточно найти НОК чисел 4 и 3.
$НОК(4, 3) = 12$.

Таким образом, число $(x - 1)$ должно быть кратно 12. Это можно записать в виде уравнения:
$x - 1 = 12k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Выражая $x$ из этого уравнения, получаем общую формулу для всех искомых чисел:
$x = 12k + 1$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Это означает, что искомые числа образуют арифметическую прогрессию. Например, при $k=0, x=1$; при $k=1, x=13$; при $k=2, x=25$; при $k=-1, x=-11$ и так далее.

Ответ: Все целые числа, которые при делении и на 4, и на 3, и на 2 дают остаток 1, описываются формулой $x = 12k + 1$, где $k$ — любое целое число.