Номер 1.91, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.9*. Сравнения по модулю m. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.91, страница 40.

1.91 Докажите признаки делимости на:

а) $10$;

б) $2$;

в) $5$;

г) $3$;

д) $9$;

е) $4$;

ж) $25$.

а) Любое натуральное число $N$ можно представить в виде суммы его разрядных слагаемых. Если число $N$ состоит из цифр $a_n a_{n-1} ... a_1 a_0$, то его можно записать в виде $N = a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + ... + a_1 \cdot 10 + a_0$. Вынесем 10 за скобки для всех слагаемых, кроме последнего: $N = 10 \cdot (a_n \cdot 10^{n-1} + a_{n-1} \cdot 10^{n-2} + ... + a_1) + a_0$. Первое слагаемое в этой сумме, $10 \cdot (a_n \cdot 10^{n-1} + ... + a_1)$, очевидно делится на 10. Следовательно, для того чтобы число $N$ делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы на 10 делилось второе слагаемое, то есть последняя цифра $a_0$. Так как $a_0$ — это цифра от 0 до 9, единственное значение, которое делится на 10, это 0. Таким образом, число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра — 0.
Ответ: Число делится на 10, если его последняя цифра — 0.

б) Аналогично предыдущему пункту, представим число $N$ в виде $N = 10 \cdot (a_n \cdot 10^{n-1} + ... + a_1) + a_0$. Первое слагаемое $10 \cdot (...)$ делится на 10, а так как $10 = 2 \cdot 5$, оно делится и на 2. Таким образом, делимость числа $N$ на 2 полностью определяется делимостью на 2 его последней цифры $a_0$. Цифра делится на 2, если она является четной. Следовательно, число $N$ делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра $a_0$ является четной (0, 2, 4, 6 или 8).
Ответ: Число делится на 2, если его последняя цифра четная.

в) Представим число $N$ в виде $N = 10 \cdot (a_n \cdot 10^{n-1} + ... + a_1) + a_0$. Первое слагаемое $10 \cdot (...)$ делится на 10, а так как $10 = 5 \cdot 2$, оно делится и на 5. Следовательно, делимость числа $N$ на 5 зависит только от делимости на 5 его последней цифры $a_0$. Среди цифр от 0 до 9 на 5 делятся только 0 и 5. Таким образом, число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0 или 5.
Ответ: Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.

г) Представим число $N = a_n a_{n-1} ... a_1 a_0$ в виде суммы разрядных слагаемых: $N = a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + ... + a_1 \cdot 10 + a_0$. Заметим, что любую степень десяти можно представить как число, на единицу большее числа, кратного 9. Например, $10 = 9+1$, $100 = 99+1$, и в общем виде $10^k = \underbrace{99...9}_{k} + 1$. Так как число $\underbrace{99...9}_{k}$ делится на 9, оно делится и на 3. Перепишем выражение для $N$: $N = a_n(\underbrace{9...9}_{n} + 1) + a_{n-1}(\underbrace{9...9}_{n-1} + 1) + ... + a_1(9+1) + a_0$. Раскроем скобки: $N = (a_n \cdot \underbrace{9...9}_{n} + a_{n-1} \cdot \underbrace{9...9}_{n-1} + ... + a_1 \cdot 9) + (a_n + a_{n-1} + ... + a_1 + a_0)$. Выражение в первых скобках представляет собой сумму слагаемых, каждое из которых делится на 3. Следовательно, вся сумма в первых скобках делится на 3. Тогда делимость числа $N$ на 3 зависит только от делимости на 3 выражения во вторых скобках, которое является суммой цифр числа $N$.
Ответ: Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

д) Доказательство аналогично доказательству признака делимости на 3. Представим число $N = a_n \cdot 10^n + ... + a_0$ и используем тот факт, что $10^k - 1 = \underbrace{99...9}_{k}$ делится на 9. Перепишем $N$ следующим образом: $N = a_n(10^n - 1 + 1) + ... + a_1(10 - 1 + 1) + a_0$. Перегруппируем слагаемые: $N = [a_n(10^n - 1) + ... + a_1(10 - 1)] + (a_n + ... + a_1 + a_0)$. Каждое слагаемое в квадратных скобках, $a_k(10^k - 1)$, делится на 9, так как $10^k - 1$ делится на 9. Значит, вся сумма в квадратных скобках делится на 9. Следовательно, делимость $N$ на 9 зависит исключительно от делимости на 9 суммы его цифр $(a_n + ... + a_0)$.
Ответ: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

е) Представим число $N$ так, чтобы выделить число, образованное двумя его последними цифрами: $N = a_n \cdot 10^n + ... + a_2 \cdot 10^2 + (a_1 \cdot 10 + a_0)$. Это можно записать как $N = 100 \cdot (a_n \cdot 10^{n-2} + ... + a_2) + (10a_1 + a_0)$. Первое слагаемое $100 \cdot (...)$ делится на 100, а так как $100 = 4 \cdot 25$, оно гарантированно делится и на 4. Таким образом, делимость $N$ на 4 зависит только от того, делится ли на 4 второе слагаемое, $(10a_1 + a_0)$, которое и представляет собой число, образованное двумя последними цифрами числа $N$.
Ответ: Число делится на 4, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

ж) Доказательство аналогично доказательству признака делимости на 4. Представим число $N$ в виде $N = 100 \cdot (a_n \cdot 10^{n-2} + ... + a_2) + (10a_1 + a_0)$. Первое слагаемое, $100 \cdot (...)$, делится на 100, а значит, делится и на 25. Следовательно, делимость числа $N$ на 25 целиком и полностью зависит от делимости на 25 числа, образованного его двумя последними цифрами, то есть $(10a_1 + a_0)$. Числа от 0 до 99, которые делятся на 25, это 0, 25, 50 и 75. Таким образом, число делится на 25, если оно оканчивается на 00, 25, 50 или 75.
Ответ: Число делится на 25, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 25 (т.е. оканчивается на 00, 25, 50 или 75).