Номер 1.93, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 1. Действительные числа. 1.9*. Сравнения по модулю m - номер 1.93, страница 40.

Условие.

1.93 Верно ли, что целые числа $a$ и $b$ сравнимы по модулю $m$, если они принадлежат одному и тому же классу $A_i$ ($i = 0, 1, 2, ..., m - 1$)?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Да, это утверждение верно. Фактически, это одно из определений классов вычетов.

Для доказательства воспользуемся определениями.

Определение 1: Сравнимость по модулю.
Два целых числа $a$ и $b$ называются сравнимыми по модулю $m$ (где $m$ — натуральное число), если их разность $(a-b)$ делится нацело на $m$. Это записывается как $a \equiv b \pmod{m}$.

Определение 2: Класс вычетов.
Класс вычетов $A_i$ по модулю $m$ (где $i$ — один из возможных остатков, т.е. $i \in \{0, 1, 2, \dots, m-1\}$) — это множество всех целых чисел, которые при делении на $m$ дают остаток $i$.

Теперь рассмотрим условие задачи. Нам дано, что целые числа $a$ и $b$ принадлежат одному и тому же классу $A_i$.

Исходя из определения 2, это означает, что и число $a$, и число $b$ при делении на $m$ дают одинаковый остаток, равный $i$. Мы можем записать это математически:
$a = q_1 \cdot m + i$, где $q_1$ — целое число (частное).
$b = q_2 \cdot m + i$, где $q_2$ — целое число (частное).

Чтобы проверить, сравнимы ли $a$ и $b$ по модулю $m$, найдем их разность:
$a - b = (q_1 \cdot m + i) - (q_2 \cdot m + i)$
$a - b = q_1 \cdot m + i - q_2 \cdot m - i$
$a - b = q_1 \cdot m - q_2 \cdot m$
$a - b = (q_1 - q_2) \cdot m$

Поскольку $q_1$ и $q_2$ — целые числа, их разность $(q_1 - q_2)$ также является целым числом. Обозначим $k = q_1 - q_2$.

Тогда мы имеем $a - b = k \cdot m$, где $k$ — целое число. Это в точности означает, что разность $(a-b)$ делится на $m$ нацело.

Согласно определению 1, это и означает, что $a \equiv b \pmod{m}$.

Таким образом, утверждение полностью доказано. Классы вычетов по модулю $m$ как раз и являются множествами чисел, сравнимых между собой по этому модулю.

Ответ: Да, верно.