Номер 1.93, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
1.9*. Сравнения по модулю m. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.93, страница 40.
№1.93 (с. 40)
Условие. №1.93 (с. 40)
скриншот условия

1.93 Верно ли, что целые числа $a$ и $b$ сравнимы по модулю $m$, если они принадлежат одному и тому же классу $A_i$ ($i = 0, 1, 2, ..., m - 1$)?
Решение 1. №1.93 (с. 40)

Решение 2. №1.93 (с. 40)

Решение 3. №1.93 (с. 40)

Решение 5. №1.93 (с. 40)
Да, это утверждение верно. Фактически, это одно из определений классов вычетов.
Для доказательства воспользуемся определениями.
Определение 1: Сравнимость по модулю.
Два целых числа $a$ и $b$ называются сравнимыми по модулю $m$ (где $m$ — натуральное число), если их разность $(a-b)$ делится нацело на $m$. Это записывается как $a \equiv b \pmod{m}$.
Определение 2: Класс вычетов.
Класс вычетов $A_i$ по модулю $m$ (где $i$ — один из возможных остатков, т.е. $i \in \{0, 1, 2, \dots, m-1\}$) — это множество всех целых чисел, которые при делении на $m$ дают остаток $i$.
Теперь рассмотрим условие задачи. Нам дано, что целые числа $a$ и $b$ принадлежат одному и тому же классу $A_i$.
Исходя из определения 2, это означает, что и число $a$, и число $b$ при делении на $m$ дают одинаковый остаток, равный $i$. Мы можем записать это математически:
$a = q_1 \cdot m + i$, где $q_1$ — целое число (частное).
$b = q_2 \cdot m + i$, где $q_2$ — целое число (частное).
Чтобы проверить, сравнимы ли $a$ и $b$ по модулю $m$, найдем их разность:
$a - b = (q_1 \cdot m + i) - (q_2 \cdot m + i)$
$a - b = q_1 \cdot m + i - q_2 \cdot m - i$
$a - b = q_1 \cdot m - q_2 \cdot m$
$a - b = (q_1 - q_2) \cdot m$
Поскольку $q_1$ и $q_2$ — целые числа, их разность $(q_1 - q_2)$ также является целым числом. Обозначим $k = q_1 - q_2$.
Тогда мы имеем $a - b = k \cdot m$, где $k$ — целое число. Это в точности означает, что разность $(a-b)$ делится на $m$ нацело.
Согласно определению 1, это и означает, что $a \equiv b \pmod{m}$.
Таким образом, утверждение полностью доказано. Классы вычетов по модулю $m$ как раз и являются множествами чисел, сравнимых между собой по этому модулю.
Ответ: Да, верно.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 1.93 расположенного на странице 40 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1.93 (с. 40), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.