Номер 1.95, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.9*. Сравнения по модулю m. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.95, страница 40.

1.95 Определите остаток от деления числа $3^{25}$ на:

а) 10;

б) 11;

в) 13.

а)

Чтобы найти остаток от деления числа $3^{25}$ на 10, необходимо найти значение $3^{25} \pmod{10}$. Это эквивалентно нахождению последней цифры числа $3^{25}$. Рассмотрим последние цифры степеней числа 3:

$3^1 = 3$

$3^2 = 9$

$3^3 = 27$, последняя цифра 7

$3^4 = 81$, последняя цифра 1

$3^5 = 243$, последняя цифра 3

Мы видим, что последние цифры повторяются с циклом длиной 4: (3, 9, 7, 1). Чтобы определить последнюю цифру числа $3^{25}$, нужно найти остаток от деления показателя степени 25 на длину цикла 4.

$25 \div 4 = 6$ с остатком 1. Это можно записать как $25 \equiv 1 \pmod{4}$.

Так как остаток равен 1, последняя цифра числа $3^{25}$ будет такой же, как и у первого члена последовательности, то есть $3^1$. Таким образом, последняя цифра равна 3.

Используя язык сравнений по модулю:

$3^4 \equiv 1 \pmod{10}$

$3^{25} = 3^{4 \cdot 6 + 1} = (3^4)^6 \cdot 3^1 \equiv 1^6 \cdot 3 \pmod{10} \equiv 3 \pmod{10}$.

Ответ: 3

б)

Требуется найти остаток от деления $3^{25}$ на 11, то есть найти $3^{25} \pmod{11}$.

Рассмотрим степени числа 3 по модулю 11:

$3^1 \equiv 3 \pmod{11}$

$3^2 \equiv 9 \pmod{11}$

$3^3 = 27 \equiv 5 \pmod{11}$

$3^4 \equiv 3 \cdot 5 = 15 \equiv 4 \pmod{11}$

$3^5 \equiv 3 \cdot 4 = 12 \equiv 1 \pmod{11}$

Мы обнаружили, что $3^5 \equiv 1 \pmod{11}$. Это означает, что остатки от деления степеней числа 3 на 11 повторяются с циклом длиной 5. Показатель степени 25 делится на 5 без остатка: $25 = 5 \cdot 5$.

Следовательно, мы можем записать:

$3^{25} = (3^5)^5 \equiv 1^5 \pmod{11} \equiv 1 \pmod{11}$.

Другой способ — использование Малой теоремы Ферма. Так как 11 — простое число, а 3 на 11 не делится, то $3^{11-1} \equiv 3^{10} \equiv 1 \pmod{11}$. Тогда:

$3^{25} = 3^{10 \cdot 2 + 5} = (3^{10})^2 \cdot 3^5 \equiv 1^2 \cdot 3^5 \pmod{11} \equiv 3^5 \pmod{11}$.

Как мы уже вычислили, $3^5 \equiv 1 \pmod{11}$. Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 1

в)

Нам нужно найти остаток от деления $3^{25}$ на 13, то есть найти $3^{25} \pmod{13}$.

Вычислим первые несколько степеней числа 3 по модулю 13:

$3^1 \equiv 3 \pmod{13}$

$3^2 \equiv 9 \pmod{13}$

$3^3 = 27 = 2 \cdot 13 + 1 \equiv 1 \pmod{13}$

Длина цикла остатков равна 3. Найдем остаток от деления показателя степени 25 на 3:

$25 \div 3 = 8$ с остатком 1. То есть, $25 \equiv 1 \pmod{3}$.

Это означает, что остаток от деления $3^{25}$ на 13 будет таким же, как у $3^1$.

$3^{25} \equiv 3^1 \pmod{13} \equiv 3 \pmod{13}$.

Как и в предыдущем пункте, можно было применить Малую теорему Ферма для простого числа 13: $3^{13-1} \equiv 3^{12} \equiv 1 \pmod{13}$.

$25 = 12 \cdot 2 + 1$.

$3^{25} = 3^{12 \cdot 2 + 1} = (3^{12})^2 \cdot 3^1 \equiv 1^2 \cdot 3^1 \pmod{13} \equiv 3 \pmod{13}$.

Результат подтверждается.

Ответ: 3