Номер 1.81, страница 35 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.7*. Доказательство числовых неравенств. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.81, страница 35.

1.81* Задача Евклида (III в.).

Докажите, что если $a$ — наибольшее из четырёх положительных чисел $a, b, c, d$ и $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то справедливо неравенство $ a + d > b + c $.

По условию задачи даны четыре положительных числа $a, b, c, d$. Число $a$ является наибольшим из них, что означает выполнение неравенств $a > b$, $a > c$ и $a > d$. Также задано соотношение в виде пропорции:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Требуется доказать справедливость неравенства:

$a + d > b + c$

Для доказательства воспользуемся методом равносильных преобразований. Начнем с исходного неравенства и будем преобразовывать его до тех пор, пока не получим очевидно истинное утверждение, вытекающее из условий задачи.

Из пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, используя основное свойство пропорции, получаем равенство:

$ad = bc$

Рассмотрим доказываемое неравенство $a + d > b + c$. Так как по условию $a$ — положительное число ($a > 0$), мы можем выразить $d$ из равенства $ad=bc$ и подставить в неравенство. Однако удобнее выполнить другие преобразования. Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$a^2 - ab - ac + bc > 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(a^2 - ab) - (ac - bc) > 0$

$a(a - b) - c(a - b) > 0$

Вынесем за скобки общий множитель $(a-b)$:

$(a - b)(a - c) > 0$

Теперь проанализируем полученное неравенство. По условию, $a$ — наибольшее из четырёх чисел. Это значит, что $a > b$ и $a > c$.

Из $a > b$ следует, что разность $(a - b)$ является положительным числом: $a - b > 0$.

Из $a > c$ следует, что разность $(a - c)$ также является положительным числом: $a - c > 0$.

Произведение двух положительных чисел $(a - b)$ и $(a - c)$ всегда положительно. Следовательно, неравенство $(a - b)(a - c) > 0$ является истинным.

Так как мы пришли к истинному неравенству с помощью равносильных преобразований исходного неравенства, то и исходное неравенство $a + d > b + c$ также является истинным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.