Номер 1.80, страница 34 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 1. Действительные числа. 1.7*. Доказательство числовых неравенств - номер 1.80, страница 34.

Условие.

1.80 Задача Паппа Александрийского (III в.). Докажите, что если a, b, c и d — положительные числа и $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$, то выполняется неравенство $ad > bc$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Нам дано неравенство $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$ и известно, что числа $a, b, c, d$ являются положительными. Это означает, что $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$ и $d > 0$. Наша задача — доказать, что из этого следует неравенство $ad > bc$.

Для доказательства воспользуемся одним из основных свойств числовых неравенств: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство того же знака.

Поскольку по условию задачи числа $b$ и $d$ положительны ($b > 0$ и $d > 0$), их произведение $bd$ также будет положительным числом ($bd > 0$).

Теперь умножим обе части исходного неравенства $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$ на это положительное число $bd$:

$\frac{a}{b} \cdot (bd) > \frac{c}{d} \cdot (bd)$

Выполним сокращение дробей в левой и правой частях полученного неравенства.

В левой части: $\frac{a}{\cancel{b}} \cdot (\cancel{b}d) = ad$.

В правой части: $\frac{c}{\cancel{d}} \cdot (b\cancel{d}) = cb = bc$.

После сокращения неравенство принимает вид:

$ad > bc$

Таким образом, мы строго доказали, что если для положительных чисел $a, b, c, d$ выполняется неравенство $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$, то обязательно выполняется и неравенство $ad > bc$.

Ответ: Умножив обе части исходного неравенства $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$ на положительное число $bd$ (которое положительно, так как по условию $b > 0$ и $d > 0$), мы получаем $\frac{a}{b} \cdot bd > \frac{c}{d} \cdot bd$. После сокращения дробей это неравенство принимает вид $ad > bc$, что и требовалось доказать.