Номер 1.79, страница 34 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.7*. Доказательство числовых неравенств. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.79, страница 34.

1.79* Докажите, что:

a) $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \ldots \cdot \frac{79}{80} < \frac{1}{9};$

б) $\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \ldots \cdot \frac{240}{241} < \frac{1}{11}.$

а)

Обозначим левую часть неравенства как $A = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \ldots \cdot \frac{79}{80}$.

Рассмотрим вспомогательное произведение $B = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \ldots \cdot \frac{80}{81}$.

Для любого натурального числа $k$ справедливо неравенство $\frac{2k-1}{2k} < \frac{2k}{2k+1}$, так как $(2k-1)(2k+1) = 4k^2 - 1$, а $(2k)^2 = 4k^2$, и очевидно, что $4k^2-1 < 4k^2$.

Поскольку каждый множитель в произведении $A$ меньше соответствующего множителя в произведении $B$, то и само произведение $A$ меньше произведения $B$:

$A < B$

Умножим обе части этого неравенства на $A$. Так как $A > 0$, знак неравенства не изменится:

$A^2 < A \cdot B$

Теперь вычислим произведение $A \cdot B$:

$A \cdot B = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{79}{80}\right) \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \ldots \cdot \frac{80}{81}\right)$

Перегруппировав множители, мы получим телескопическое произведение, в котором большинство членов сокращается:

$A \cdot B = \frac{1}{\cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \cdot \ldots \cdot \frac{\cancel{79}}{\cancel{80}} \cdot \frac{\cancel{80}}{81} = \frac{1}{81}$

Подставим это значение в неравенство $A^2 < A \cdot B$:

$A^2 < \frac{1}{81}$

Так как $A$ — положительное число, извлечем квадратный корень из обеих частей неравенства:

$A < \sqrt{\frac{1}{81}} \implies A < \frac{1}{9}$

Таким образом, исходное неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

б)

Обозначим левую часть неравенства как $C = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \ldots \cdot \frac{240}{241}$.

Рассмотрим вспомогательное произведение $D = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{7}{8} \cdot \ldots \cdot \frac{241}{242}$.

Для любого натурального числа $k$ справедливо неравенство $\frac{2k}{2k+1} < \frac{2k+1}{2k+2}$, так как $(2k)(2k+2) = 4k^2 + 4k$, а $(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$, и очевидно, что $4k^2+4k < 4k^2+4k+1$.

Поскольку каждый множитель в произведении $C$ меньше соответствующего множителя в произведении $D$, то и само произведение $C$ меньше произведения $D$:

$C < D$

Умножим обе части этого неравенства на $C$. Так как $C > 0$, знак неравенства не изменится:

$C^2 < C \cdot D$

Теперь вычислим произведение $C \cdot D$:

$C \cdot D = \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \ldots \cdot \frac{240}{241}\right) \cdot \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \ldots \cdot \frac{241}{242}\right)$

Перегруппировав множители, мы видим, что они последовательно сокращаются:

$C \cdot D = \frac{2}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \cdot \frac{\cancel{4}}{\cancel{5}} \cdot \ldots \cdot \frac{\cancel{240}}{\cancel{241}} \cdot \frac{\cancel{241}}{242} = \frac{2}{242} = \frac{1}{121}$

Подставим это значение в неравенство $C^2 < C \cdot D$:

$C^2 < \frac{1}{121}$

Так как $C$ — положительное число, извлечем квадратный корень из обеих частей неравенства:

$C < \sqrt{\frac{1}{121}} \implies C < \frac{1}{11}$

Таким образом, исходное неравенство доказано.

Ответ: Доказано.