Страница 38 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.84 Определите целые числа m, n, k и p, для которых справедливо равенство:

a) $2^{m+n} \cdot 3^{k+1} \cdot 5^7 \cdot 7^{12} = 2^{7-n} \cdot 3^7 \cdot 5^{m+p} \cdot 7^{m+n+k};$

б) $2^{p-m} \cdot 75^n \cdot 3^p \cdot 7^{m+4} = 21^k \cdot 27 \cdot 5^p \cdot 14^n \cdot 2^m.$

а) Исходное равенство: $2^{m+n} \cdot 3^{k+1} \cdot 5^7 \cdot 7^{12} = 2^{7-n} \cdot 3^7 \cdot 5^{m+p} \cdot 7^{m+n+k}$.

Согласно основной теореме арифметики о единственности разложения на простые множители, для выполнения равенства необходимо, чтобы степени при одинаковых простых основаниях в левой и правой частях были равны.

Приравняем показатели степеней для каждого простого основания (2, 3, 5 и 7), чтобы получить систему уравнений:

1) Для основания 2: $m + n = 7 - n \implies m + 2n = 7$.

2) Для основания 3: $k + 1 = 7$.

3) Для основания 5: $7 = m + p$.

4) Для основания 7: $12 = m + n + k$.

Решим полученную систему. Из уравнения (2) сразу находим $k$: $k = 7 - 1 = 6$.

Подставим значение $k=6$ в уравнение (4): $m + n + 6 = 12 \implies m + n = 6$.

Теперь решим систему из двух уравнений для $m$ и $n$:

$m + 2n = 7$

$m + n = 6$

Вычитая второе уравнение из первого, получаем: $(m + 2n) - (m + n) = 7 - 6$, откуда $n = 1$.

Подставим $n=1$ в уравнение $m + n = 6$: $m + 1 = 6$, откуда $m = 5$.

Наконец, подставим $m=5$ в уравнение (3), чтобы найти $p$: $7 = 5 + p$, откуда $p = 2$.

Таким образом, мы нашли все искомые целые числа.

Ответ: $m=5, n=1, k=6, p=2$.

б) Исходное равенство: $2^{p-m} \cdot 75^n \cdot 3^p \cdot 7^{m+4} = 21^k \cdot 27 \cdot 5^p \cdot 14^n \cdot 2^m$.

Сначала разложим составные числа (75, 21, 27, 14) на простые множители в обеих частях равенства.

Левая часть: $2^{p-m} \cdot (3 \cdot 5^2)^n \cdot 3^p \cdot 7^{m+4} = 2^{p-m} \cdot 3^n \cdot 5^{2n} \cdot 3^p \cdot 7^{m+4} = 2^{p-m} \cdot 3^{n+p} \cdot 5^{2n} \cdot 7^{m+4}$.

Правая часть: $(3 \cdot 7)^k \cdot 3^3 \cdot 5^p \cdot (2 \cdot 7)^n \cdot 2^m = 3^k \cdot 7^k \cdot 3^3 \cdot 5^p \cdot 2^n \cdot 7^n \cdot 2^m = 2^{m+n} \cdot 3^{k+3} \cdot 5^p \cdot 7^{k+n}$.

Теперь приравняем выражения: $2^{p-m} \cdot 3^{n+p} \cdot 5^{2n} \cdot 7^{m+4} = 2^{m+n} \cdot 3^{k+3} \cdot 5^p \cdot 7^{k+n}$.

Приравняем показатели степеней для каждого простого основания (2, 3, 5 и 7):

1) Для основания 2: $p - m = m + n \implies p - 2m - n = 0$.

2) Для основания 3: $n + p = k + 3$.

3) Для основания 5: $2n = p$.

4) Для основания 7: $m + 4 = k + n \implies m - n - k = -4$.

Решим полученную систему уравнений. Из уравнения (3) выразим $p$ через $n$: $p = 2n$.

Подставим $p = 2n$ в уравнение (1): $2n - 2m - n = 0 \implies n - 2m = 0 \implies n = 2m$.

Теперь мы можем выразить $p$ через $m$: $p = 2n = 2(2m) = 4m$.

Подставим $n = 2m$ в уравнение (4): $m - 2m - k = -4 \implies -m - k = -4 \implies m + k = 4$.

Подставим $n = 2m$ и $p = 4m$ в уравнение (2): $2m + 4m = k + 3 \implies 6m - k = 3$.

Теперь решим систему из двух уравнений для $m$ и $k$:

$m + k = 4$

$6m - k = 3$

Сложим эти два уравнения: $(m + k) + (6m - k) = 4 + 3 \implies 7m = 7$, откуда $m = 1$.

Зная $m$, последовательно находим остальные переменные:

$n = 2m = 2(1) = 2$.

$p = 4m = 4(1) = 4$.

Из уравнения $m + k = 4$ находим $k$: $1 + k = 4 \implies k = 3$.

Таким образом, мы нашли все искомые целые числа.

Ответ: $m=1, n=2, k=3, p=4$.

1.85 Докажите, что числа:

а) 1997 и 1999;

б) 1997 и 2002;

в) 2001 и 2006;

г) 2003 и 2009

являются взаимно простыми числами.

Два целых числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы доказать, что данные пары чисел являются взаимно простыми, мы найдем их НОД. Для этого удобно использовать алгоритм Евклида, в частности его свойство: $НОД(a, b) = НОД(a, b - a)$ для $b > a$.

а) Докажем, что числа 1997 и 1999 являются взаимно простыми.

Найдем НОД для чисел 1997 и 1999, используя указанное свойство:

$НОД(1999, 1997) = НОД(1997, 1999 - 1997) = НОД(1997, 2)$.

Число 2 — простое, его делители — это 1 и 2. Число 1997 является нечетным, так как оканчивается на цифру 7, следовательно, оно не делится на 2. Единственным общим делителем чисел 1997 и 2 является 1.

Таким образом, $НОД(1999, 1997) = 1$. Поскольку их наибольший общий делитель равен 1, числа 1997 и 1999 являются взаимно простыми.

Ответ: Доказано, что числа 1997 и 1999 являются взаимно простыми, так как их НОД равен 1.

б) Докажем, что числа 1997 и 2002 являются взаимно простыми.

Найдем НОД для чисел 1997 и 2002:

$НОД(2002, 1997) = НОД(1997, 2002 - 1997) = НОД(1997, 5)$.

Число 5 — простое, его делители — это 1 и 5. Число 1997 не делится на 5, так как его последняя цифра (7) не является ни 0, ни 5. Следовательно, единственный общий делитель чисел 1997 и 5 — это 1.

Таким образом, $НОД(2002, 1997) = 1$. Поскольку их наибольший общий делитель равен 1, числа 1997 и 2002 являются взаимно простыми.

Ответ: Доказано, что числа 1997 и 2002 являются взаимно простыми, так как их НОД равен 1.

в) Докажем, что числа 2001 и 2006 являются взаимно простыми.

Найдем НОД для чисел 2001 и 2006:

$НОД(2006, 2001) = НОД(2001, 2006 - 2001) = НОД(2001, 5)$.

Число 5 — простое, его делители — это 1 и 5. Число 2001 не делится на 5, так как его последняя цифра (1) не является ни 0, ни 5. Следовательно, единственный общий делитель чисел 2001 и 5 — это 1.

Таким образом, $НОД(2006, 2001) = 1$. Поскольку их наибольший общий делитель равен 1, числа 2001 и 2006 являются взаимно простыми.

Ответ: Доказано, что числа 2001 и 2006 являются взаимно простыми, так как их НОД равен 1.

г) Докажем, что числа 2003 и 2009 являются взаимно простыми.

Найдем НОД для чисел 2003 и 2009:

$НОД(2009, 2003) = НОД(2003, 2009 - 2003) = НОД(2003, 6)$.

Теперь нужно найти общие делители у чисел 2003 и 6. Делители числа 6 — это 1, 2, 3, 6. Проверим, делится ли 2003 на простые делители числа 6, то есть на 2 и 3.

Число 2003 нечетное (оканчивается на 3), значит, на 2 оно не делится.

Сумма цифр числа 2003 равна $2+0+0+3=5$. Так как 5 не делится на 3, то и число 2003 не делится на 3 (согласно признаку делимости на 3).

Поскольку 2003 не делится ни на 2, ни на 3, у него нет общих делителей с числом 6, кроме 1.

Таким образом, $НОД(2003, 6) = 1$, а значит и $НОД(2009, 2003) = 1$. Поскольку их наибольший общий делитель равен 1, числа 2003 и 2009 являются взаимно простыми.

Ответ: Доказано, что числа 2003 и 2009 являются взаимно простыми, так как их НОД равен 1.

1.86 Докажите, что дроби:

а) $\frac{1997}{1999}$;

б) $\frac{2007}{1999}$;

в) $\frac{2011}{2027}$;

г) $\frac{3333}{3365}$

являются несократимыми.

Для того чтобы доказать, что дробь является несократимой, нужно показать, что её числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Это означает, что их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Для нахождения НОД мы будем использовать алгоритм Евклида, а именно его свойство: $НОД(a, b) = НОД(b, a-b)$ при $a > b$.

Найдем $НОД(1999, 1997)$. $НОД(1999, 1997) = НОД(1997, 1999 - 1997) = НОД(1997, 2)$. Число 1997 является нечетным, поэтому оно не делится на 2. Следовательно, единственным общим положительным делителем для 1997 и 2 является 1. Таким образом, $НОД(1999, 1997) = 1$, и дробь $\frac{1997}{1999}$ несократима.

Ответ: Дробь является несократимой.

Найдем $НОД(2007, 1999)$. $НОД(2007, 1999) = НОД(1999, 2007 - 1999) = НОД(1999, 8)$. Простые делители числа 8 — это только число 2 ($8 = 2^3$). Число 1999 является нечетным, поэтому оно не делится на 2. Значит, у чисел 1999 и 8 нет общих делителей, кроме 1. Следовательно, $НОД(2007, 1999) = 1$, и дробь $\frac{2007}{1999}$ несократима.

Ответ: Дробь является несократимой.

Найдем $НОД(2027, 2011)$. $НОД(2027, 2011) = НОД(2011, 2027 - 2011) = НОД(2011, 16)$. Единственным простым делителем числа 16 является 2 ($16 = 2^4$). Число 2011 — нечетное, поэтому оно не делится на 2. Таким образом, у чисел 2011 и 16 нет общих делителей, отличных от 1. Следовательно, $НОД(2027, 2011) = 1$, и дробь $\frac{2011}{2027}$ несократима.

Ответ: Дробь является несократимой.

Найдем $НОД(3365, 3333)$. $НОД(3365, 3333) = НОД(3333, 3365 - 3333) = НОД(3333, 32)$. Единственным простым делителем числа 32 является 2 ($32 = 2^5$). Число 3333 — нечетное, так как заканчивается на 3, и поэтому не делится на 2. Значит, у чисел 3333 и 32 нет общих делителей, кроме 1. Следовательно, $НОД(3365, 3333) = 1$, и дробь $\frac{3333}{3365}$ несократима.

Ответ: Дробь является несократимой.

1.87 Докажите, что произведение:

а) двух последовательных натуральных чисел делится на 2;

б) трёх последовательных натуральных чисел делится на 6;

в) четырёх последовательных натуральных чисел делится на 24.

а) Возьмём два последовательных натуральных числа: $n$ и $n+1$. Среди любых двух последовательных натуральных чисел одно обязательно является чётным (то есть делится на 2), а другое — нечётным. Если $n$ — чётное, то произведение $n(n+1)$ делится на 2. Если $n$ — нечётное, то чётным будет число $n+1$, и произведение $n(n+1)$ также будет делиться на 2. Следовательно, произведение двух последовательных натуральных чисел всегда имеет чётный множитель, а значит, и само делится на 2.
Ответ: Произведение двух последовательных натуральных чисел всегда делится на 2, так как одно из этих чисел обязательно чётное.

б) Рассмотрим произведение трёх последовательных натуральных чисел $n(n+1)(n+2)$. Чтобы доказать, что оно делится на 6, нужно доказать его делимость на 2 и на 3, поскольку $6 = 2 \cdot 3$, а числа 2 и 3 являются взаимно простыми.
1. Делимость на 2: Среди трёх последовательных натуральных чисел есть как минимум одно чётное число. Следовательно, их произведение делится на 2.
2. Делимость на 3: Среди любых трёх последовательных натуральных чисел ровно одно число делится на 3. Это можно показать, рассмотрев остатки от деления первого числа $n$ на 3.
- Если $n$ делится на 3 ($n = 3k$), то произведение делится на 3.
- Если $n$ даёт остаток 1 при делении на 3 ($n = 3k+1$), то число $n+2 = 3k+1+2 = 3(k+1)$ делится на 3.
- Если $n$ даёт остаток 2 при делении на 3 ($n = 3k+2$), то число $n+1 = 3k+2+1 = 3(k+1)$ делится на 3.
В любом случае, один из множителей делится на 3, поэтому и всё произведение делится на 3.
Поскольку произведение делится одновременно на 2 и на 3, оно делится и на их произведение, то есть на 6.
Ответ: Произведение трёх последовательных натуральных чисел всегда делится на 6, так как среди них есть как минимум одно чётное число (обеспечивает делимость на 2) и ровно одно число, кратное трём (обеспечивает делимость на 3).

в) Рассмотрим произведение четырёх последовательных натуральных чисел $n(n+1)(n+2)(n+3)$. Чтобы доказать, что оно делится на 24, нужно доказать его делимость на 3 и на 8, так как $24 = 3 \cdot 8$, а числа 3 и 8 являются взаимно простыми.
1. Делимость на 3: Среди четырёх последовательных чисел обязательно есть хотя бы одно, которое делится на 3 (по аналогии с пунктом б). Следовательно, произведение делится на 3.
2. Делимость на 8: Среди четырёх последовательных натуральных чисел всегда есть ровно два чётных числа. Эти два числа отстоят друг от друга на 2. Одно из этих чётных чисел обязательно будет кратно 4, а другое будет чётным, но не кратным 4. Например, в последовательности $n, n+1, n+2, n+3$:
- Если $n$ кратно 4 ($n=4k$), то чётные числа - это $4k$ и $4k+2$. Их произведение делится на $4 \cdot 2 = 8$.
- Если $n+1$ кратно 4 ($n+1=4k$), то чётные числа - это $4k$ и $4k-2$. Их произведение делится на $4 \cdot 2 = 8$.
- Если $n+2$ кратно 4 ($n+2=4k$), то чётные числа - это $4k$ и $4k-2$. Их произведение делится на $4 \cdot 2 = 8$.
- Если $n+3$ кратно 4 ($n+3=4k$), то чётные числа - это $4k$ и $4k-2$. Их произведение делится на $4 \cdot 2 = 8$.
Так как в произведении есть множитель, кратный 4, и другой чётный множитель, то их общее произведение будет кратно $4 \cdot 2 = 8$.
Поскольку произведение делится и на 3, и на 8, оно делится и на их произведение, то есть на 24.
Ответ: Произведение четырёх последовательных натуральных чисел всегда делится на 24, так как оно делится на 3 (среди чисел есть одно, кратное трём) и на 8 (среди чисел есть два чётных, одно из которых обязательно кратно 4).

1.88 Найдите все целые числа, которые при делении и на $4$, и на $3$, и на $2$ дают остаток $1$.

Пусть $x$ — искомое целое число. Условие, что число при делении на 4, на 3 и на 2 дает остаток 1, можно записать в виде системы сравнений по модулю:
$x \equiv 1 \pmod{4}$
$x \equiv 1 \pmod{3}$
$x \equiv 1 \pmod{2}$

Эта система равносильна тому, что разность $(x - 1)$ делится нацело на 4, на 3 и на 2 одновременно. Следовательно, число $(x - 1)$ должно быть кратно их наименьшему общему кратному (НОК).

Найдем НОК для чисел 4, 3 и 2. Так как любое число, делящееся на 4, автоматически делится и на 2, условие делимости на 2 является избыточным, и нам достаточно найти НОК чисел 4 и 3.
$НОК(4, 3) = 12$.

Таким образом, число $(x - 1)$ должно быть кратно 12. Это можно записать в виде уравнения:
$x - 1 = 12k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Выражая $x$ из этого уравнения, получаем общую формулу для всех искомых чисел:
$x = 12k + 1$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Это означает, что искомые числа образуют арифметическую прогрессию. Например, при $k=0, x=1$; при $k=1, x=13$; при $k=2, x=25$; при $k=-1, x=-11$ и так далее.

Ответ: Все целые числа, которые при делении и на 4, и на 3, и на 2 дают остаток 1, описываются формулой $x = 12k + 1$, где $k$ — любое целое число.

1.89 Найдите все целые числа, которые при делении на 4 дают остаток 3, при делении на 3 дают остаток 2, при делении на 2 дают остаток 1.

Пусть $x$ — искомое целое число. Согласно условиям задачи, $x$ должен удовлетворять следующей системе сравнений:

$x \equiv 3 \pmod{4}$
$x \equiv 2 \pmod{3}$
$x \equiv 1 \pmod{2}$

Можно заметить, что в каждом из условий остаток на единицу меньше делителя ($3 = 4 - 1$, $2 = 3 - 1$, $1 = 2 - 1$). Это позволяет переписать систему в эквивалентном виде, используя отрицательные остатки:

$x \equiv -1 \pmod{4}$
$x \equiv -1 \pmod{3}$
$x \equiv -1 \pmod{2}$

Из этой системы следует, что если к числу $x$ прибавить 1, то полученное число $x+1$ будет делиться нацело и на 4, и на 3, и на 2. Следовательно, число $x+1$ должно быть общим кратным для чисел 4, 3 и 2. Чтобы найти все возможные значения $x$, необходимо, чтобы $x+1$ было кратно наименьшему общему кратному (НОК) этих чисел.

Найдем НОК(4, 3, 2). Поскольку 4 делится на 2, НОК(4, 3, 2) = НОК(4, 3). Так как 4 и 3 — взаимно простые числа, их НОК равен их произведению:

НОК(4, 3, 2) = 12.

Таким образом, $x+1$ должно быть кратно 12, что можно записать в виде уравнения:

$x + 1 = 12k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Выражая $x$ из этого уравнения, получаем общую формулу для всех чисел, удовлетворяющих условию задачи:

$x = 12k - 1$.

Проверим для нескольких значений $k$:

• При $k=1$: $x = 12 \cdot 1 - 1 = 11$.
  $11 \div 4 = 2$ (остаток 3)
  $11 \div 3 = 3$ (остаток 2)
  $11 \div 2 = 5$ (остаток 1)
• При $k=0$: $x = 12 \cdot 0 - 1 = -1$.
  $-1 = 4 \cdot (-1) + 3$ (остаток 3)
  $-1 = 3 \cdot (-1) + 2$ (остаток 2)
  $-1 = 2 \cdot (-1) + 1$ (остаток 1)
• При $k=2$: $x = 12 \cdot 2 - 1 = 23$.
  $23 \div 4 = 5$ (остаток 3)
  $23 \div 3 = 7$ (остаток 2)
  $23 \div 2 = 11$ (остаток 1)

Все условия выполняются.

Ответ: все целые числа вида $12k - 1$, где $k$ — любое целое число.

1.90 Докажите, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится на 9.

1.90 Обозначим три последовательных натуральных числа как $n-1$, $n$ и $n+1$, где $n$ — натуральное число и $n \ge 2$. Сумма их кубов $S$ равна:
$S = (n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3$
Воспользуемся формулами сокращенного умножения для куба суммы и куба разности, $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$, и раскроем скобки:
$S = (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1)$
Приведем подобные слагаемые, чтобы упростить выражение:
$S = 3n^3 + 6n$
Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$S = 3(n^3 + 2n)$
Для того чтобы доказать, что $S$ делится на 9, необходимо показать, что выражение в скобках, $(n^3 + 2n)$, делится на 3 для любого натурального числа $n$.
Преобразуем это выражение, добавив и отняв $n$:
$n^3 + 2n = n^3 - n + 3n = n(n^2 - 1) + 3n = n(n-1)(n+1) + 3n$
Рассмотрим полученную сумму. Первое слагаемое, $n(n-1)(n+1)$, является произведением трёх последовательных натуральных чисел. Среди любых трёх последовательных чисел одно всегда кратно 3, следовательно, их произведение делится на 3. Второе слагаемое, $3n$, также очевидно делится на 3.
Поскольку оба слагаемых делятся на 3, их сумма, $(n^3 + 2n)$, также делится на 3. Это означает, что $n^3 + 2n$ можно представить в виде $3k$, где $k$ — некоторое целое число.
Подставим это в нашу формулу для $S$:
$S = 3 \cdot (3k) = 9k$
Полученное выражение показывает, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел всегда кратна 9, то есть делится на 9 без остатка. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.