Номер 1.103, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.10*. Задачи с целочисленными неизвестными. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.103, страница 44.

1.103 Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи, 1180—1240 гг.).

Некто купил 30 птиц за 30 монет, из числа этих птиц за каждых трёх воробьёв заплачена 1 монета, за каждые две горлицы — также 1 монета и, наконец, за каждого голубя — по 2 монеты. Сколько было птиц каждой породы?

Обозначим количество воробьёв как $x$, количество горлиц как $y$, и количество голубей как $z$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений. Первое уравнение — общее количество птиц:

$x + y + z = 30$

Второе уравнение — общая стоимость птиц. Определим цену за одну птицу каждого вида:

• Цена воробья: 1 монета за 3 птицы, то есть $1/3$ монеты за штуку.
• Цена горлицы: 1 монета за 2 птицы, то есть $1/2$ монеты за штуку.
• Цена голубя: 2 монеты за штуку.

Общая стоимость составляет 30 монет:

$\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + 2z = 30$

Мы получили систему двух уравнений с тремя неизвестными. Решать её будем в целых неотрицательных числах, так как $x, y, z$ — это количество птиц.

$ \begin{cases} x + y + z = 30 \\ \frac{x}{3} + \frac{y}{2} + 2z = 30 \end{cases} $

Умножим второе уравнение на 6, чтобы избавиться от дробей:

$6 \cdot (\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + 2z) = 6 \cdot 30$

$2x + 3y + 12z = 180$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} x + y + z = 30 \\ 2x + 3y + 12z = 180 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 30 - y - z$.

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$2(30 - y - z) + 3y + 12z = 180$

$60 - 2y - 2z + 3y + 12z = 180$

Приведём подобные слагаемые:

$y + 10z + 60 = 180$

$y + 10z = 120$

Из этого уравнения выразим $y$ через $z$:

$y = 120 - 10z$

Теперь подставим это выражение для $y$ в формулу для $x = 30 - y - z$:

$x = 30 - (120 - 10z) - z$

$x = 30 - 120 + 10z - z$

$x = 9z - 90$

Поскольку $x, y, z$ должны быть неотрицательными целыми числами, получаем следующие неравенства:

$y \ge 0 \implies 120 - 10z \ge 0 \implies 120 \ge 10z \implies z \le 12$

$x \ge 0 \implies 9z - 90 \ge 0 \implies 9z \ge 90 \implies z \ge 10$

Таким образом, для количества голубей $z$ возможны только целые значения в диапазоне от 10 до 12. Рассмотрим все три варианта:

1. Если $z=10$:
   $x = 9(10) - 90 = 0$
   $y = 120 - 10(10) = 20$
   Получаем 0 воробьёв, 20 горлиц, 10 голубей.
2. Если $z=11$:
   $x = 9(11) - 90 = 9$
   $y = 120 - 10(11) = 10$
   Получаем 9 воробьёв, 10 горлиц, 11 голубей.
3. Если $z=12$:
   $x = 9(12) - 90 = 18$
   $y = 120 - 10(12) = 0$
   Получаем 18 воробьёв, 0 горлиц, 12 голубей.

Все три набора чисел являются математическими решениями задачи. Однако формулировка вопроса, перечисляющая все три вида птиц, как правило, подразумевает, что количество птиц каждого вида отлично от нуля. Этому условию ($x>0, y>0, z>0$) удовлетворяет только второй вариант.

Ответ: Было куплено 9 воробьёв, 10 горлиц и 11 голубей.