Номер 2.1, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 2. Рациональные уравнения и неравенства. 2.1. Рациональные выражения - номер 2.1, страница 47.

Условие.

2.1°

a) Что называют: одночленом; многочленом?

б) Можно ли любое число считать многочленом?

в) Является ли сумма, разность, произведение двух многочленов многочленом?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Одночленом называют алгебраическое выражение, которое является произведением чисел, переменных и их степеней с натуральными (целыми неотрицательными) показателями. Также одночленами считают сами числа и переменные.
Например: $5$, $x$, $-7a^2b^3$, $0.25y^4$.

Многочленом называют алгебраическую сумму нескольких одночленов. Одночлены, из которых состоит многочлен, называют его членами. Одночлен также считается частным случаем многочлена, состоящего из одного члена.
Например: $3x^2 + 2x - 5$, $a^3 - b^3$, $8xy$.

Ответ: Одночлен — это произведение чисел и переменных в степенях. Многочлен — это сумма одночленов.

б)

Да, любое число можно считать многочленом.
Любое число, например 7, является одночленом. Его можно представить как одночлен, не содержащий переменных, или как одночлен с переменной в нулевой степени (например, $7x^0$), так как любое число в степени 0 равно 1.
Поскольку по определению любой одночлен является многочленом (состоящим из одного члена), то и любое число можно считать многочленом. Такой многочлен называют многочленом нулевой степени (если число не равно нулю).

Ответ: Да, можно.

в)

Да, сумма, разность и произведение двух многочленов всегда являются многочленом. Это означает, что множество многочленов замкнуто относительно этих операций.

• Сумма: При сложении двух многочленов мы складываем их члены (одночлены) и приводим подобные слагаемые. Результатом является новое выражение, которое также представляет собой сумму одночленов, то есть многочлен. Например, $(x^2 + 1) + (2x - 3) = x^2 + 2x - 2$.
• Разность: Вычитание одного многочлена из другого равносильно прибавлению многочлена, все члены которого умножены на $-1$. Так как произведение многочлена на число является многочленом, а сумма многочленов — многочлен, то и разность двух многочленов является многочленом. Например, $(x^2 + 1) - (2x - 3) = x^2 + 1 - 2x + 3 = x^2 - 2x + 4$.
• Произведение: При умножении двух многочленов каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого по правилу дистрибутивности. Произведение двух одночленов всегда является одночленом (например, $(ax^n) \cdot (by^m) = abx^{n+m})$). Итоговое выражение представляет собой сумму таких одночленов, что по определению является многочленом. Например, $(x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$.

Ответ: Да, является.