Номер 2.1, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.1. Рациональные выражения. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.1, страница 47.

2.1°

a) Что называют: одночленом; многочленом?

б) Можно ли любое число считать многочленом?

в) Является ли сумма, разность, произведение двух многочленов многочленом?

а)

Одночленом называют алгебраическое выражение, которое является произведением чисел, переменных и их степеней с натуральными (целыми неотрицательными) показателями. Также одночленами считают сами числа и переменные.
Например: $5$, $x$, $-7a^2b^3$, $0.25y^4$.

Многочленом называют алгебраическую сумму нескольких одночленов. Одночлены, из которых состоит многочлен, называют его членами. Одночлен также считается частным случаем многочлена, состоящего из одного члена.
Например: $3x^2 + 2x - 5$, $a^3 - b^3$, $8xy$.

Ответ: Одночлен — это произведение чисел и переменных в степенях. Многочлен — это сумма одночленов.

б)

Да, любое число можно считать многочленом.
Любое число, например 7, является одночленом. Его можно представить как одночлен, не содержащий переменных, или как одночлен с переменной в нулевой степени (например, $7x^0$), так как любое число в степени 0 равно 1.
Поскольку по определению любой одночлен является многочленом (состоящим из одного члена), то и любое число можно считать многочленом. Такой многочлен называют многочленом нулевой степени (если число не равно нулю).

Ответ: Да, можно.

в)

Да, сумма, разность и произведение двух многочленов всегда являются многочленом. Это означает, что множество многочленов замкнуто относительно этих операций.

• Сумма: При сложении двух многочленов мы складываем их члены (одночлены) и приводим подобные слагаемые. Результатом является новое выражение, которое также представляет собой сумму одночленов, то есть многочлен. Например, $(x^2 + 1) + (2x - 3) = x^2 + 2x - 2$.
• Разность: Вычитание одного многочлена из другого равносильно прибавлению многочлена, все члены которого умножены на $-1$. Так как произведение многочлена на число является многочленом, а сумма многочленов — многочлен, то и разность двух многочленов является многочленом. Например, $(x^2 + 1) - (2x - 3) = x^2 + 1 - 2x + 3 = x^2 - 2x + 4$.
• Произведение: При умножении двух многочленов каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого по правилу дистрибутивности. Произведение двух одночленов всегда является одночленом (например, $(ax^n) \cdot (by^m) = abx^{n+m})$). Итоговое выражение представляет собой сумму таких одночленов, что по определению является многочленом. Например, $(x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$.

Ответ: Да, является.