Номер 2.8, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.1. Рациональные выражения. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.8, страница 47.

2.8 a) $\frac{(ab + b - a - 1)(a - 1)}{(a^2 - 1)(b - 1)} \cdot 3;$

B) $\frac{(a + b)^3 - (a - b)^3}{2b (3a^2 + b^2)} + 1;$

б) $\frac{(a^2 + ab - ac - bc)^2}{(a^2 + 2ab + b^2)(a^2 - 2ac + c^2)} \cdot 4;$

Г) $\frac{(a^2 + ab + b^2)(a - b)^2 (a + b)}{(a^3 - b^3)(a^2 - b^2)}.$

а) Упростим выражение $ \frac{(ab + b - a - 1)(a - 1)}{(a^2 - 1)(b - 1)} \cdot 3 $.

Сначала разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

В числителе сгруппируем слагаемые в первой скобке: $ ab + b - a - 1 = b(a + 1) - (a + 1) = (b - 1)(a + 1) $. Таким образом, весь числитель дроби принимает вид: $ (b - 1)(a + 1)(a - 1) $.

В знаменателе используем формулу разности квадратов для выражения $ a^2 - 1 $: $ a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1) $. Тогда весь знаменатель дроби равен: $ (a - 1)(a + 1)(b - 1) $.

Подставим разложенные выражения в дробь: $ \frac{(b - 1)(a + 1)(a - 1)}{(a - 1)(a + 1)(b - 1)} $.

Сократим одинаковые множители $ (a-1) $, $ (a+1) $ и $ (b-1) $. В результате сокращения дробь становится равной 1.

Теперь умножим результат на 3: $ 1 \cdot 3 = 3 $.

Ответ: 3

б) Упростим выражение $ \frac{(a^2 + ab - ac - bc)^2}{(a^2 + 2ab + b^2)(a^2 - 2ac + c^2)} \cdot 4 $.

Разложим на множители выражения в числителе и знаменателе.

В числителе сгруппируем слагаемые в основании степени: $ a^2 + ab - ac - bc = a(a + b) - c(a + b) = (a - c)(a + b) $. Тогда весь числитель равен $ ((a - c)(a + b))^2 = (a - c)^2(a + b)^2 $.

В знаменателе используем формулы сокращенного умножения (квадрат суммы и квадрат разности): $ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 $ и $ a^2 - 2ac + c^2 = (a - c)^2 $. Весь знаменатель равен $ (a + b)^2(a - c)^2 $.

Подставим разложенные выражения в дробь: $ \frac{(a - c)^2(a + b)^2}{(a + b)^2(a - c)^2} $.

Сократим одинаковые множители $ (a+b)^2 $ и $ (a-c)^2 $. В результате дробь равна 1.

Теперь умножим результат на 4: $ 1 \cdot 4 = 4 $.

Ответ: 4

в) Упростим выражение $ \frac{(a + b)^3 - (a - b)^3}{2b(3a^2 + b^2)} + 1 $.

Раскроем числитель дроби. Можно использовать формулу разности кубов $ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) $, где $ x = a+b $ и $ y = a-b $.

$ (a+b)^3 - (a-b)^3 = ((a+b)-(a-b)) \cdot ((a+b)^2+(a+b)(a-b)+(a-b)^2) $ $ = (a+b-a+b) \cdot (a^2+2ab+b^2+a^2-b^2+a^2-2ab+b^2) $ $ = (2b)(3a^2+b^2) $.

Другой способ — раскрыть скобки по формуле куба суммы и куба разности: $ (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 $ и $ (a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 $. Тогда $ (a+b)^3 - (a-b)^3 = (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) - (a^3-3a^2b+3ab^2-b^3) = 2 \cdot (3a^2b) + 2b^3 = 6a^2b + 2b^3 = 2b(3a^2+b^2) $.

Подставим полученное выражение в числитель дроби: $ \frac{2b(3a^2+b^2)}{2b(3a^2+b^2)} $.

Сократим дробь, она равна 1 (при условии $ b \neq 0 $ и $ 3a^2+b^2 \neq 0 $).

Теперь выполним сложение: $ 1 + 1 = 2 $.

Ответ: 2

г) Упростим выражение $ \frac{(a^2 + ab + b^2)(a - b)^2(a + b)}{(a^3 - b^3)(a^2 - b^2)} $.

Разложим на множители выражения в знаменателе.

Используем формулу разности кубов: $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $.

Используем формулу разности квадратов: $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $.

Тогда знаменатель равен: $ (a - b)(a^2 + ab + b^2)(a - b)(a + b) = (a^2 + ab + b^2)(a - b)^2(a + b) $.

Подставим разложенный знаменатель в дробь: $ \frac{(a^2 + ab + b^2)(a - b)^2(a + b)}{(a^2 + ab + b^2)(a - b)^2(a + b)} $.

Числитель и знаменатель дроби идентичны, поэтому при их сокращении (при допустимых значениях переменных) получаем 1.

Ответ: 1