Страница 48 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.10* Из сборника задач П. А. Ларичева.

а) Упростите выражение

$\left( \frac{a}{a - 2b} + \frac{b}{a + 2b} \right) \cdot \frac{a^3 + 8b^3}{a^3 + 3a^2b - 2ab^2}$

и найдите его значение при $a = 0,5$, $b = -1$.

б) Упростите выражение

$\frac{a + 2b}{3a - 3b} - \frac{3c - a}{2a - 2c} + \frac{a^2 - bc}{a^2 - ac + bc - ab}$

и найдите его значение при $a = \frac{1}{6}$, $b = -1$.

а) Сначала упростим выражение. Первым шагом приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(a - 2b)(a + 2b) = a^2 - 4b^2$.
$\frac{a}{a - 2b} + \frac{b}{a + 2b} = \frac{a(a + 2b) + b(a - 2b)}{(a - 2b)(a + 2b)} = \frac{a^2 + 2ab + ab - 2b^2}{a^2 - 4b^2} = \frac{a^2 + 3ab - 2b^2}{a^2 - 4b^2}$.

Теперь рассмотрим вторую дробь. Разложим ее числитель и знаменатель на множители. Числитель — это сумма кубов, а в знаменателе вынесем общий множитель $a$.
$a^3 + 8b^3 = a^3 + (2b)^3 = (a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$.
$a^3 + 3a^2b - 2ab^2 = a(a^2 + 3ab - 2b^2)$.

Теперь перемножим полученные выражения:
$\left(\frac{a^2 + 3ab - 2b^2}{a^2 - 4b^2}\right) \cdot \frac{(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)}{a(a^2 + 3ab - 2b^2)} = \frac{a^2 + 3ab - 2b^2}{(a - 2b)(a + 2b)} \cdot \frac{(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)}{a(a^2 + 3ab - 2b^2)}$.

Сократим одинаковые множители $(a^2 + 3ab - 2b^2)$ и $(a + 2b)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{1}{a - 2b} \cdot \frac{a^2 - 2ab + 4b^2}{a} = \frac{a^2 - 2ab + 4b^2}{a(a - 2b)}$.

Теперь найдем значение упрощенного выражения при $a = 0,5$ и $b = -1$.
$\frac{(0,5)^2 - 2(0,5)(-1) + 4(-1)^2}{0,5(0,5 - 2(-1))} = \frac{0,25 - (-1) + 4(1)}{0,5(0,5 + 2)} = \frac{0,25 + 1 + 4}{0,5(2,5)} = \frac{5,25}{1,25}$.

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 100:
$\frac{525}{125} = \frac{21 \cdot 25}{5 \cdot 25} = \frac{21}{5} = 4,2$.
Ответ: $4,2$.

б) Сначала упростим выражение. Для этого разложим знаменатели всех дробей на множители.
$3a - 3b = 3(a - b)$.
$2a - 2c = 2(a - c)$.
$a^2 - ac + bc - ab = (a^2 - ab) - (ac - bc) = a(a - b) - c(a - b) = (a - b)(a - c)$.

Перепишем выражение с разложенными знаменателями:
$\frac{a + 2b}{3(a - b)} - \frac{3c - a}{2(a - c)} + \frac{a^2 - bc}{(a - b)(a - c)}$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $6(a - b)(a - c)$:
$\frac{2(a - c)(a + 2b)}{6(a - b)(a - c)} - \frac{3(a - b)(3c - a)}{6(a - b)(a - c)} + \frac{6(a^2 - bc)}{6(a - b)(a - c)}$.

Запишем все под одной чертой и раскроем скобки в числителе:
$\frac{2(a^2 + 2ab - ac - 2bc) - 3(3ac - a^2 - 3bc + ab) + 6(a^2 - bc)}{6(a - b)(a - c)} = $
$\frac{2a^2 + 4ab - 2ac - 4bc - 9ac + 3a^2 + 9bc - 3ab + 6a^2 - 6bc}{6(a - b)(a - c)}$.

Приведем подобные слагаемые в числителе:
$(2a^2 + 3a^2 + 6a^2) + (4ab - 3ab) + (-2ac - 9ac) + (-4bc + 9bc - 6bc) = 11a^2 + ab - 11ac - bc$.

Сгруппируем и вынесем общие множители в числителе:
$(11a^2 - 11ac) + (ab - bc) = 11a(a - c) + b(a - c) = (11a + b)(a - c)$.

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь и сократим:
$\frac{(11a + b)(a - c)}{6(a - b)(a - c)} = \frac{11a + b}{6(a - b)}$.

Теперь найдем значение выражения при $a = \frac{1}{6}$ и $b = -1$.
$\frac{11(\frac{1}{6}) + (-1)}{6(\frac{1}{6} - (-1))} = \frac{\frac{11}{6} - 1}{6(\frac{1}{6} + 1)} = \frac{\frac{11}{6} - \frac{6}{6}}{6(\frac{1}{6} + \frac{6}{6})} = \frac{\frac{5}{6}}{6(\frac{7}{6})} = \frac{\frac{5}{6}}{7} = \frac{5}{6 \cdot 7} = \frac{5}{42}$.
Ответ: $\frac{5}{42}$.

2.11* Является ли симметрическим многочлен:

а) $a^2 + 2ab + b^2$;

б) $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$;

в) $5a^2 + 5b^2 - 3a^3 - 3b^3 + 4ab$;

г) $2a^2 + 3b^2 - 4a^3 - 5b^3 + 6ab$;

д) $a^2b^2c^2 - 3abc + a + b + c + 1$;

е) $abc - 4a + 4b - 4c + 1?$

Симметрический многочлен — это многочлен, который не изменяется при любой перестановке своих переменных. Чтобы проверить, является ли многочлен симметрическим, достаточно проверить, изменится ли он, если поменять местами любые две переменные.

а) Рассмотрим многочлен $P(a, b) = a^2 + 2ab + b^2$.

Поменяем местами переменные $a$ и $b$:

$P(b, a) = b^2 + 2ba + a^2$

Поскольку умножение и сложение коммутативны, мы можем переписать это выражение как:

$P(b, a) = a^2 + 2ab + b^2$

Так как $P(a, b) = P(b, a)$, многочлен является симметрическим. Также этот многочлен является полным квадратом суммы $(a+b)^2$.

Ответ: да.

б) Рассмотрим многочлен $P(a, b) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Поменяем местами переменные $a$ и $b$:

$P(b, a) = b^3 + 3b^2a + 3ba^2 + a^3$

Перегруппировав слагаемые, получим:

$P(b, a) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Так как $P(a, b) = P(b, a)$, многочлен является симметрическим. Этот многочлен также является кубом суммы $(a+b)^3$.

Ответ: да.

в) Рассмотрим многочлен $P(a, b) = 5a^2 + 5b^2 - 3a^3 - 3b^3 + 4ab$.

Поменяем местами переменные $a$ и $b$:

$P(b, a) = 5b^2 + 5a^2 - 3b^3 - 3a^3 + 4ba$

Перегруппировав слагаемые, получим:

$P(b, a) = 5a^2 + 5b^2 - 3a^3 - 3b^3 + 4ab$

Так как $P(a, b) = P(b, a)$, многочлен является симметрическим.

Ответ: да.

г) Рассмотрим многочлен $P(a, b) = 2a^2 + 3b^2 - 4a^3 - 5b^3 + 6ab$.

Поменяем местами переменные $a$ и $b$:

$P(b, a) = 2b^2 + 3a^2 - 4b^3 - 5a^3 + 6ba$

Сравним полученный многочлен с исходным. Коэффициент при $a^2$ в $P(a, b)$ равен 2, а в $P(b, a)$ он равен 3. Коэффициент при $b^2$ в $P(a, b)$ равен 3, а в $P(b, a)$ он равен 2. Поскольку коэффициенты при соответствующих степенях переменных не совпадают ($2 \neq 3$), многочлен $P(a, b)$ не равен $P(b, a)$.

Следовательно, многочлен не является симметрическим.

Ответ: нет.

д) Рассмотрим многочлен от трех переменных $P(a, b, c) = a^2b^2c^2 - 3abc + a + b + c + 1$.

Проверим, изменится ли многочлен при перестановке переменных, например, $a$ и $b$.

$P(b, a, c) = b^2a^2c^2 - 3bac + b + a + c + 1$

Используя коммутативность умножения и сложения, получаем:

$P(b, a, c) = a^2b^2c^2 - 3abc + a + b + c + 1 = P(a, b, c)$

Аналогично, при любой другой перестановке переменных (например, $a \leftrightarrow c$ или $b \leftrightarrow c$) многочлен не изменится, так как все его члены ($a^2b^2c^2$, $-3abc$, $a+b+c$, $1$) симметричны относительно всех переменных.

Следовательно, многочлен является симметрическим.

Ответ: да.

е) Рассмотрим многочлен $P(a, b, c) = abc - 4a + 4b - 4c + 1$.

Поменяем местами переменные $a$ и $b$:

$P(b, a, c) = bac - 4b + 4a - 4c + 1 = abc + 4a - 4b - 4c + 1$

Сравним $P(b, a, c)$ с исходным многочленом $P(a, b, c)$.

$P(a, b, c) = abc - 4a + 4b - 4c + 1$

$P(b, a, c) = abc + 4a - 4b - 4c + 1$

Эти многочлены не равны, так как коэффициенты при $a$ ($-4$ и $4$) и $b$ ($4$ и $-4$) различны. В симметрическом многочлене коэффициенты при однородных членах (например, $a$, $b$ и $c$) должны быть одинаковыми. Здесь это условие не выполняется.

Следовательно, многочлен не является симметрическим.

Ответ: нет.

2.12* Уравнение:

a) $x^2 + y^2 - 6x - 6y = 7$ имеет решение (6; 7);

б) $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 3 = 0$ имеет решение (3; 2).

Укажите ещё одно решение этого уравнения.

Рассмотрим уравнение $x^2 + y^2 - 6x - 6y = 7$.

Можно заметить, что это уравнение симметрично относительно переменных $x$ и $y$. Это означает, что если мы поменяем местами $x$ и $y$, уравнение не изменится: $y^2 + x^2 - 6y - 6x = 7$. Из этого свойства следует, что если пара чисел $(x_0; y_0)$ является решением уравнения, то и пара $(y_0; x_0)$ также будет его решением.

По условию, пара $(6; 7)$ является решением этого уравнения. Проверим это, подставив $x=6$ и $y=7$ в уравнение:

$6^2 + 7^2 - 6 \cdot 6 - 6 \cdot 7 = 36 + 49 - 36 - 42 = 49 - 42 = 7$.

Так как $7 = 7$, равенство верное.

Следовательно, симметричная пара $(7; 6)$ также должна быть решением. Проверим это, подставив $x=7$ и $y=6$ в исходное уравнение:

$7^2 + 6^2 - 6 \cdot 7 - 6 \cdot 6 = 49 + 36 - 42 - 36 = 7$.

Так как $7 = 7$, равенство верное.

Таким образом, мы нашли еще одно решение.

Геометрически данное уравнение является уравнением окружности. Выделив полные квадраты, получим:

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 6y + 9) = 7 + 9 + 9$

$(x-3)^2 + (y-3)^2 = 25$

Это окружность с центром в точке $(3; 3)$ и радиусом $5$. Так как центр окружности лежит на прямой $y=x$, окружность симметрична относительно этой прямой. Точка $(7; 6)$ симметрична точке $(6; 7)$ относительно прямой $y=x$, а значит, тоже лежит на этой окружности.

Ответ: $(7; 6)$.

Рассмотрим уравнение $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 3 = 0$.

Это уравнение, как и предыдущее, симметрично относительно переменных $x$ и $y$. Если поменять $x$ и $y$ местами, уравнение останется прежним: $y^2 + x^2 - 2y - 2x - 3 = 0$. Поэтому, если пара чисел $(x_0; y_0)$ является решением, то и пара $(y_0; x_0)$ также является решением.

По условию, $(3; 2)$ является решением. Проверим:

$3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2 - 3 = 9 + 4 - 6 - 4 - 3 = 13 - 13 = 0$.

Так как $0 = 0$, равенство верное.

Значит, симметричная пара $(2; 3)$ также будет решением. Проверим подстановкой $x=2$ и $y=3$:

$2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 - 2 \cdot 3 - 3 = 4 + 9 - 4 - 6 - 3 = 13 - 13 = 0$.

Так как $0 = 0$, равенство верное.

Геометрическая интерпретация также помогает понять решение. Преобразуем уравнение к каноническому виду уравнения окружности:

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) - 3 - 1 - 1 = 0$

$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 5$

Это окружность с центром в точке $(1; 1)$ и радиусом $\sqrt{5}$. Центр окружности находится на прямой $y=x$, что означает симметрию окружности относительно этой прямой. Точка $(2; 3)$ симметрична точке $(3; 2)$ относительно прямой $y=x$ и, следовательно, также принадлежит окружности.

Ответ: $(2; 3)$.

2.13* Докажите, что если $f(x; y)$ — симметрический многочлен и пара чисел $(x_0; y_0)$ является решением уравнения $f(x; y) = 0$, то пара чисел $(y_0; x_0)$ также является решением этого уравнения.

По определению, многочлен $f(x; y)$ является симметрическим, если он не изменяется при перестановке его переменных. Это означает, что для любых значений $x$ и $y$ выполняется тождество: $f(x; y) = f(y; x)$.

Из условия задачи мы знаем, что пара чисел $(x_0; y_0)$ является решением уравнения $f(x; y) = 0$. Это значит, что при подстановке $x = x_0$ и $y = y_0$ в уравнение, мы получаем верное числовое равенство: $f(x_0; y_0) = 0$.

Нам нужно доказать, что пара чисел $(y_0; x_0)$ также является решением этого уравнения. Для этого необходимо показать, что при подстановке $x = y_0$ и $y = x_0$ в уравнение, мы также получим верное равенство, то есть $f(y_0; x_0) = 0$.

Рассмотрим тождество симметричности $f(x; y) = f(y; x)$. Поскольку оно верно для любых значений переменных, оно будет верно и для конкретных чисел $x_0$ и $y_0$. Подставим их в тождество: $f(x_0; y_0) = f(y_0; x_0)$.

Так как нам известно, что $f(x_0; y_0) = 0$, мы можем подставить это значение в левую часть полученного выше равенства: $0 = f(y_0; x_0)$.

Следовательно, $f(y_0; x_0) = 0$. Это и означает, что пара чисел $(y_0; x_0)$ является решением уравнения $f(x; y) = 0$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из того, что $f(x; y)$ — симметрический многочлен, следует тождество $f(x; y) = f(y; x)$. Если пара $(x_0; y_0)$ является решением уравнения $f(x; y) = 0$, то $f(x_0; y_0) = 0$. В силу тождества симметричности $f(y_0; x_0) = f(x_0; y_0)$, откуда следует, что $f(y_0; x_0) = 0$. Это доказывает, что пара $(y_0; x_0)$ также является решением уравнения.