Страница 52 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.14 Напишите числа:

а) $C_2^0$, $C_2^1$, $C_2^2$ и сравните их с коэффициентами разложения бинома $(a+x)^2$;

б) $C_3^0$, $C_3^1$, $C_3^2$, $C_3^3$ и сравните их с коэффициентами разложения бинома $(a+x)^3$;

в) $C_4^0$, $C_4^1$, $C_4^2$, $C_4^3$, $C_4^4$ и сравните их с коэффициентами разложения бинома $(a+x)^4$.

Убедитесь, что найденные в этом задании числа стоят в $n$-й строке треугольника Паскаля ($n=2, 3, 4$).

а)

Сначала вычислим значения чисел $C_2^0, C_2^1, C_2^2$, используя формулу для биномиальных коэффициентов $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
$C_2^0 = \frac{2!}{0!(2-0)!} = \frac{2!}{1 \cdot 2!} = 1$
$C_2^1 = \frac{2!}{1!(2-1)!} = \frac{2!}{1! \cdot 1!} = 2$
$C_2^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2! \cdot 0!} = 1$
Таким образом, мы получили ряд чисел: 1, 2, 1.

Теперь рассмотрим разложение бинома $(a+x)^2$. По формуле квадрата суммы:
$(a+x)^2 = a^2 + 2ax + x^2 = 1 \cdot a^2 + 2 \cdot ax + 1 \cdot x^2$
Коэффициентами в этом разложении являются числа: 1, 2, 1.

Сравнивая полученные результаты, мы видим, что вычисленные значения $C_2^0, C_2^1, C_2^2$ в точности равны коэффициентам в разложении бинома $(a+x)^2$.
Ответ: Числа $C_2^0, C_2^1, C_2^2$ равны 1, 2, 1 и совпадают с коэффициентами разложения бинома $(a+x)^2$.

б)

Вычислим значения чисел $C_3^0, C_3^1, C_3^2, C_3^3$:
$C_3^0 = \frac{3!}{0!(3-0)!} = 1$
$C_3^1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{6}{1 \cdot 2} = 3$
$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{6}{2 \cdot 1} = 3$
$C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = 1$
Таким образом, мы получили ряд чисел: 1, 3, 3, 1.

Рассмотрим разложение бинома $(a+x)^3$. По формуле куба суммы:
$(a+x)^3 = a^3 + 3a^2x + 3ax^2 + x^3 = 1 \cdot a^3 + 3 \cdot a^2x + 3 \cdot ax^2 + 1 \cdot x^3$
Коэффициентами в этом разложении являются числа: 1, 3, 3, 1.

Сравнение показывает, что вычисленные значения $C_3^0, C_3^1, C_3^2, C_3^3$ полностью совпадают с коэффициентами в разложении бинома $(a+x)^3$.
Ответ: Числа $C_3^0, C_3^1, C_3^2, C_3^3$ равны 1, 3, 3, 1 и совпадают с коэффициентами разложения бинома $(a+x)^3$.

в)

Вычислим значения чисел $C_4^0, C_4^1, C_4^2, C_4^3, C_4^4$:
$C_4^0 = \frac{4!}{0!(4-0)!} = 1$
$C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{24}{1 \cdot 6} = 4$
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6$
$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{24}{6 \cdot 1} = 4$
$C_4^4 = \frac{4!}{4!(4-4)!} = 1$
Таким образом, мы получили ряд чисел: 1, 4, 6, 4, 1.

Разложение бинома Ньютона для $n=4$ имеет вид:
$(a+x)^4 = C_4^0 a^4 + C_4^1 a^3x + C_4^2 a^2x^2 + C_4^3 ax^3 + C_4^4 x^4$
Подставив вычисленные значения коэффициентов, получим:
$(a+x)^4 = 1 \cdot a^4 + 4 \cdot a^3x + 6 \cdot a^2x^2 + 4 \cdot ax^3 + 1 \cdot x^4$
Коэффициентами в этом разложении являются числа: 1, 4, 6, 4, 1.

Сравнение показывает, что вычисленные значения $C_4^k$ совпадают с коэффициентами в разложении бинома $(a+x)^4$.
Ответ: Числа $C_4^0, C_4^1, C_4^2, C_4^3, C_4^4$ равны 1, 4, 6, 4, 1 и совпадают с коэффициентами разложения бинома $(a+x)^4$.

Теперь убедимся, что найденные в этом задании числа стоят в n-й строке треугольника Паскаля (для $n = 2, 3, 4$). Строки в треугольнике Паскаля нумеруются с $n=0$.

$n=0: \quad\quad\quad 1$
$n=1: \quad\quad 1 \quad 1$
$n=2: \quad\quad 1 \quad 2 \quad 1$
$n=3: \quad 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1$
$n=4: 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1$

Как мы видим:

• для $n=2$ найденные числа (1, 2, 1) образуют 2-ю строку треугольника Паскаля.
• для $n=3$ найденные числа (1, 3, 3, 1) образуют 3-ю строку треугольника Паскаля.
• для $n=4$ найденные числа (1, 4, 6, 4, 1) образуют 4-ю строку треугольника Паскаля.

Это подтверждает общее свойство: биномиальные коэффициенты $C_n^k$ для $k$ от 0 до $n$ образуют $n$-ю строку треугольника Паскаля и являются коэффициентами в разложении бинома $(a+x)^n$.

2.15 Сколько членов в формуле бинома Ньютона при:

а) $n = 3$;

б) $n = 5$;

в) $n = 7$;

г) $n = 4$;

д) $n = 6$;

е) $n = 8?$

Формула бинома Ньютона для возведения двучлена $(a+b)$ в степень $n$ (где $n$ — натуральное число) имеет вид:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1}b^1 + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^n a^0 b^n$

Здесь $C_n^k$ — это биномиальные коэффициенты. Каждый член разложения соответствует определенному значению индекса $k$, который изменяется от $0$ до $n$.

Чтобы найти общее количество членов в разложении, нужно посчитать количество всех возможных целочисленных значений $k$ в диапазоне от $0$ до $n$. Эти значения: $0, 1, 2, \dots, n$.

Общее количество таких значений равно $n - 0 + 1 = n + 1$.

Таким образом, количество членов в формуле бинома Ньютона для степени $n$ всегда равно $n+1$.

а) n = 3;

Для $n=3$ количество членов в разложении равно $n+1 = 3+1 = 4$.

Ответ: 4.

б) n = 5;

Для $n=5$ количество членов в разложении равно $n+1 = 5+1 = 6$.

Ответ: 6.

в) n = 7;

Для $n=7$ количество членов в разложении равно $n+1 = 7+1 = 8$.

Ответ: 8.

г) n = 4;

Для $n=4$ количество членов в разложении равно $n+1 = 4+1 = 5$.

Ответ: 5.

д) n = 6;

Для $n=6$ количество членов в

2.16 Сколько членов в формуле бинома Ньютона при:

а) $n = 2l$;

б) $n = 2l + 1$,

где $l$ — натуральное число? В каком из этих двух случаев имеется средний член в формуле бинома Ньютона?

Формула бинома Ньютона для выражения $(a+b)^n$ в общем виде записывается как сумма:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты.

Члены этой суммы соответствуют различным значениям индекса $k$, который изменяется от $0$ до $n$. Общее количество значений, которые принимает $k$, равно $n - 0 + 1 = n+1$. Таким образом, разложение бинома Ньютона для степени $n$ содержит $n+1$ член.

а) При $n = 2l$, где $l$ — натуральное число.

Количество членов в разложении равно $n+1$. Подставляя $n = 2l$, получаем:

Количество членов $= 2l + 1$.

Ответ: $2l+1$.

б) При $n = 2l + 1$, где $l$ — натуральное число.

Количество членов в разложении равно $n+1$. Подставляя $n = 2l+1$, получаем:

Количество членов $= (2l+1) + 1 = 2l+2$.

Ответ: $2l+2$.

В каком из этих двух случаев имеется средний член в формуле бинома Ньютона?

Средний член в разложении существует тогда, когда общее количество членов является нечетным. Если количество членов четное, то вместо одного среднего члена существуют два центральных члена.

• В случае а), когда $n=2l$ (четное число), общее количество членов равно $2l+1$. Так как $l$ — натуральное число, $2l$ — четное, а $2l+1$ — всегда нечетное число. При нечетном количестве членов ($N = 2l+1$) существует единственный средний член, порядковый номер которого равен $\frac{N+1}{2} = \frac{(2l+1)+1}{2} = l+1$. Этот член соответствует значению $k=l$ в формуле бинома и имеет вид $C_{2l}^l a^{l} b^{l}$.
• В случае б), когда $n=2l+1$ (нечетное число), общее количество членов равно $2l+2$. Это всегда четное число. При четном количестве членов ($N=2l+2$) существуют два центральных члена с номерами $\frac{N}{2} = l+1$ и $\frac{N}{2}+1 = l+2$.

Следовательно, единственный средний член имеется только в том случае, когда показатель степени бинома $n$ является четным.

Ответ: Средний член имеется в случае а), при $n=2l$.

2.17 Напишите разложение по формуле бинома Ньютона:

а) $(a + x)^5$;

б) $(a + x)^6$;

в) $(a + x)^7$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+x)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} x^k = C_n^0 a^n x^0 + C_n^1 a^{n-1} x^1 + C_n^2 a^{n-2} x^2 + \dots + C_n^n a^0 x^n$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты.

В данном случае показатель степени $n=5$. Разложение по формуле бинома Ньютона будет иметь вид:

$(a+x)^5 = C_5^0 a^5 + C_5^1 a^4 x + C_5^2 a^3 x^2 + C_5^3 a^2 x^3 + C_5^4 a x^4 + C_5^5 x^5$

Вычислим биномиальные коэффициенты $C_5^k$:

$C_5^0 = \frac{5!}{0!(5-0)!} = 1$

$C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1!4!} = 5$

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

$C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = 5$

$C_5^5 = \frac{5!}{5!(5-5)!} = \frac{5!}{5!0!} = 1$

Подставив найденные коэффициенты, получим разложение:

$(a+x)^5 = 1 \cdot a^5 + 5 \cdot a^4 x + 10 \cdot a^3 x^2 + 10 \cdot a^2 x^3 + 5 \cdot a x^4 + 1 \cdot x^5$

Ответ: $(a+x)^5 = a^5 + 5a^4x + 10a^3x^2 + 10a^2x^3 + 5ax^4 + x^5$

Здесь показатель степени $n=6$. Разложение по формуле бинома Ньютона будет иметь вид:

$(a+x)^6 = C_6^0 a^6 + C_6^1 a^5 x + C_6^2 a^4 x^2 + C_6^3 a^3 x^3 + C_6^4 a^2 x^4 + C_6^5 a x^5 + C_6^6 x^6$

Вычислим биномиальные коэффициенты $C_6^k$:

$C_6^0 = 1$

$C_6^1 = \frac{6!}{1!5!} = 6$

$C_6^2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

$C_6^3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$

$C_6^4 = \frac{6!}{4!2!} = 15$

$C_6^5 = \frac{6!}{5!1!} = 6$

$C_6^6 = 1$

Подставив найденные коэффициенты, получим разложение:

$(a+x)^6 = 1 \cdot a^6 + 6 \cdot a^5 x + 15 \cdot a^4 x^2 + 20 \cdot a^3 x^3 + 15 \cdot a^2 x^4 + 6 \cdot a x^5 + 1 \cdot x^6$

Ответ: $(a+x)^6 = a^6 + 6a^5x + 15a^4x^2 + 20a^3x^3 + 15a^2x^4 + 6ax^5 + x^6$

Здесь показатель степени $n=7$. Разложение по формуле бинома Ньютона будет иметь вид:

$(a+x)^7 = C_7^0 a^7 + C_7^1 a^6 x + C_7^2 a^5 x^2 + C_7^3 a^4 x^3 + C_7^4 a^3 x^4 + C_7^5 a^2 x^5 + C_7^6 a x^6 + C_7^7 x^7$

Вычислим биномиальные коэффициенты $C_7^k$:

$C_7^0 = 1$

$C_7^1 = \frac{7!}{1!6!} = 7$

$C_7^2 = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$

$C_7^3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$

$C_7^4 = \frac{7!}{4!3!} = 35$

$C_7^5 = \frac{7!}{5!2!} = 21$

$C_7^6 = \frac{7!}{6!1!} = 7$

$C_7^7 = 1$

Подставив найденные коэффициенты, получим разложение:

$(a+x)^7 = 1 \cdot a^7 + 7 \cdot a^6 x + 21 \cdot a^5 x^2 + 35 \cdot a^4 x^3 + 35 \cdot a^3 x^4 + 21 \cdot a^2 x^5 + 7 \cdot a x^6 + 1 \cdot x^7$

Ответ: $(a+x)^7 = a^7 + 7a^6x + 21a^5x^2 + 35a^4x^3 + 35a^3x^4 + 21a^2x^5 + 7ax^6 + x^7$

2.18 Найдите коэффициент третьего члена в разложении по формуле бинома Ньютона:

а) $(a + x)^6$;

б) $(a + x)^{10}$;

в) $(a + x)^{12}$.

Для нахождения коэффициента третьего члена в разложении бинома Ньютона $(a+x)^n$ воспользуемся общей формулой для $(k+1)$-го члена разложения:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} x^k$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

Третий член разложения соответствует значению $k+1 = 3$, то есть $k=2$. Таким образом, формула для третьего члена ($T_3$) будет:

$T_3 = C_n^2 a^{n-2} x^2$

Коэффициентом этого члена при переменной $x$ является выражение $C_n^2 a^{n-2}$. Найдем его для каждого из случаев.

а) Для разложения $(a+x)^6$ имеем $n=6$.

Третий член разложения $T_3$ соответствует $k=2$. Его формула:

$T_3 = C_6^2 a^{6-2} x^2 = C_6^2 a^4 x^2$

Коэффициент этого члена равен $C_6^2 a^4$. Вычислим биномиальный коэффициент $C_6^2$:

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

Следовательно, искомый коэффициент равен $15a^4$.

Ответ: $15a^4$.

б) Для разложения $(a+x)^{10}$ имеем $n=10$.

Третий член разложения $T_3$ соответствует $k=2$. Его формула:

$T_3 = C_{10}^2 a^{10-2} x^2 = C_{10}^2 a^8 x^2$

Коэффициент этого члена равен $C_{10}^2 a^8$. Вычислим биномиальный коэффициент $C_{10}^2$:

$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$

Следовательно, искомый коэффициент равен $45a^8$.

Ответ: $45a^8$.

в) Для разложения $(a+x)^{12}$ имеем $n=12$.

Третий член разложения $T_3$ соответствует $k=2$. Его формула:

$T_3 = C_{12}^2 a^{12-2} x^2 = C_{12}^2 a^{10} x^2$

Коэффициент этого члена равен $C_{12}^2 a^{10}$. Вычислим биномиальный коэффициент $C_{12}^2$:

$C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66$

Следовательно, искомый коэффициент равен $66a^{10}$.

Ответ: $66a^{10}$.

2.19 Найдите коэффициент среднего члена в разложении по формуле бинома Ньютона:

а) $(a+x)^8$;

б) $(a+x)^{10}$;

в) $(a+x)^{16}$.

Формула бинома Ньютона для разложения $(a+x)^n$ имеет вид: $(a+x)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} x^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — это биномиальные коэффициенты.

Общее число членов в разложении равно $n+1$. Если показатель степени $n$ — четное число, то есть $n=2m$, то количество членов в разложении равно $2m+1$, что является нечетным числом. В этом случае существует единственный средний член. Его порядковый номер равен $m+1 = \frac{n}{2}+1$. Для нахождения этого члена, значение $k$ в общей формуле должно быть равно $m = \frac{n}{2}$. Таким образом, коэффициент среднего члена равен $C_n^{n/2}$.

Во всех трех представленных случаях показатель степени $n$ является четным.

а) $(a+x)^8$

Здесь показатель степени $n=8$. Так как $n$ — четное, разложение имеет один средний член. Его номер в разложении будет $\frac{8}{2}+1=5$. Для пятого члена параметр $k$ равен $\frac{8}{2} = 4$.

Коэффициент среднего члена равен биномиальному коэффициенту $C_8^4$. Вычислим его значение:

$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{1680}{24} = 70$.

Ответ: 70

б) $(a+x)^{10}$

Здесь показатель степени $n=10$. Так как $n$ — четное, разложение имеет один средний член. Его номер будет $\frac{10}{2}+1=6$. Для шестого члена параметр $k$ равен $\frac{10}{2} = 5$.

Коэффициент среднего члена равен биномиальному коэффициенту $C_{10}^5$. Вычислим его значение:

$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2 \times 9 \times 2 \times 7 = 252$.

Ответ: 252

в) $(a+x)^{16}$

Здесь показатель степени $n=16$. Так как $n$ — четное, разложение имеет один средний член. Его номер будет $\frac{16}{2}+1=9$. Для девятого члена параметр $k$ равен $\frac{16}{2} = 8$.

Коэффициент среднего члена равен биномиальному коэффициенту $C_{16}^8$. Вычислим его значение:

$C_{16}^8 = \frac{16!}{8!(16-8)!} = \frac{16!}{8!8!} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$.

После сокращения дроби получаем:

$C_{16}^8 = 13 \times 11 \times 10 \times 9 = 12870$.

Ответ: 12870

2.20 Найдите третий член разложения по формуле бинома Ньютона:

a) $(a + 1)^8$;

б) $(2a + 3)^9$;

в) $(3a - 5x)^{11}$.

а)

Для нахождения третьего члена разложения $(a + 1)^8$ по формуле бинома Ньютона воспользуемся формулой $(k+1)$-го члена разложения $(x+y)^n$:

$T_{k+1} = C_n^k x^{n-k} y^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае, $x = a$, $y = 1$, $n = 8$. Мы ищем третий член, значит $k+1 = 3$, откуда $k=2$.

Подставляем значения в формулу:

$T_3 = C_8^2 a^{8-2} 1^2 = C_8^2 a^6 \cdot 1 = C_8^2 a^6$.

Вычислим биномиальный коэффициент $C_8^2$:

$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28$.

Таким образом, третий член разложения равен:

$T_3 = 28a^6$.

Ответ: $28a^6$.

б)

Для нахождения третьего члена разложения $(2a + 3)^9$ воспользуемся той же формулой $(k+1)$-го члена разложения бинома Ньютона: $T_{k+1} = C_n^k x^{n-k} y^k$.

В данном случае, $x = 2a$, $y = 3$, $n = 9$. Мы ищем третий член, поэтому $k+1 = 3$, то есть $k=2$.

Подставляем эти значения в формулу:

$T_3 = C_9^2 (2a)^{9-2} 3^2 = C_9^2 (2a)^7 3^2$.

Сначала вычислим биномиальный коэффициент $C_9^2$:

$C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36$.

Теперь подставим значение коэффициента и упростим выражение:

$T_3 = 36 \cdot (2a)^7 \cdot 3^2 = 36 \cdot 2^7 \cdot a^7 \cdot 9 = 36 \cdot 128 \cdot 9 \cdot a^7$.

Вычислим числовой коэффициент:

$36 \cdot 128 \cdot 9 = 324 \cdot 128 = 41472$.

Следовательно, третий член разложения равен:

$T_3 = 41472a^7$.

Ответ: $41472a^7$.

в)

Для нахождения третьего члена разложения $(3a - 5x)^{11}$ представим бином в виде $(3a + (-5x))^{11}$ и воспользуемся формулой $(k+1)$-го члена: $T_{k+1} = C_n^k x^{n-k} y^k$.

Здесь, первый член бинома $x = 3a$, второй член $y = -5x$, а степень $n = 11$. Мы ищем третий член, значит $k+1 = 3$, откуда $k=2$.

Подставляем значения в формулу:

$T_3 = C_{11}^2 (3a)^{11-2} (-5x)^2 = C_{11}^2 (3a)^9 (-5x)^2$.

Вычислим биномиальный коэффициент $C_{11}^2$:

$C_{11}^2 = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11!}{2!9!} = \frac{11 \cdot 10}{2 \cdot 1} = 55$.

Теперь подставим значение коэффициента и упростим выражение:

$T_3 = 55 \cdot (3a)^9 \cdot (-5x)^2 = 55 \cdot 3^9 \cdot a^9 \cdot (-5)^2 \cdot x^2 = 55 \cdot 3^9 \cdot a^9 \cdot 25 \cdot x^2$.

Вычислим числовой коэффициент. Сначала $3^9$:

$3^9 = 19683$.

Теперь перемножим все числовые множители:

$55 \cdot 25 \cdot 19683 = 1375 \cdot 19683 = 27064125$.

Таким образом, третий член разложения равен:

$T_3 = 27064125a^9x^2$.

Ответ: $27064125a^9x^2$.