Номер 2.16, страница 52 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.2. Формулы бинома Ньютона, суммы и разности степеней. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.16, страница 52.

2.16 Сколько членов в формуле бинома Ньютона при:

а) $n = 2l$;

б) $n = 2l + 1$,

где $l$ — натуральное число? В каком из этих двух случаев имеется средний член в формуле бинома Ньютона?

Формула бинома Ньютона для выражения $(a+b)^n$ в общем виде записывается как сумма:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты.

Члены этой суммы соответствуют различным значениям индекса $k$, который изменяется от $0$ до $n$. Общее количество значений, которые принимает $k$, равно $n - 0 + 1 = n+1$. Таким образом, разложение бинома Ньютона для степени $n$ содержит $n+1$ член.

а) При $n = 2l$, где $l$ — натуральное число.

Количество членов в разложении равно $n+1$. Подставляя $n = 2l$, получаем:

Количество членов $= 2l + 1$.

Ответ: $2l+1$.

б) При $n = 2l + 1$, где $l$ — натуральное число.

Количество членов в разложении равно $n+1$. Подставляя $n = 2l+1$, получаем:

Количество членов $= (2l+1) + 1 = 2l+2$.

Ответ: $2l+2$.

В каком из этих двух случаев имеется средний член в формуле бинома Ньютона?

Средний член в разложении существует тогда, когда общее количество членов является нечетным. Если количество членов четное, то вместо одного среднего члена существуют два центральных члена.

• В случае а), когда $n=2l$ (четное число), общее количество членов равно $2l+1$. Так как $l$ — натуральное число, $2l$ — четное, а $2l+1$ — всегда нечетное число. При нечетном количестве членов ($N = 2l+1$) существует единственный средний член, порядковый номер которого равен $\frac{N+1}{2} = \frac{(2l+1)+1}{2} = l+1$. Этот член соответствует значению $k=l$ в формуле бинома и имеет вид $C_{2l}^l a^{l} b^{l}$.
• В случае б), когда $n=2l+1$ (нечетное число), общее количество членов равно $2l+2$. Это всегда четное число. При четном количестве членов ($N=2l+2$) существуют два центральных члена с номерами $\frac{N}{2} = l+1$ и $\frac{N}{2}+1 = l+2$.

Следовательно, единственный средний член имеется только в том случае, когда показатель степени бинома $n$ является четным.

Ответ: Средний член имеется в случае а), при $n=2l$.