Номер 2.23, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.2. Формулы бинома Ньютона, суммы и разности степеней. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.23, страница 53.

Докажите равенство (2.23–2.24):

2.23 a) $(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1)(a^8 + 1) = a^{16} - 1;$

б) $(b + c)(b^2 + c^2)(b^4 + c^4)(b^8 + c^8) = \frac{b^{16} - c^{16}}{b - c} (b \ne c).$

а)

Для доказательства данного равенства будем последовательно преобразовывать его левую часть, многократно применяя формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

1. Начнем с произведения первых двух скобок:
$(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$.

2. Подставим полученный результат в исходное выражение. Теперь оно выглядит так:
$(a^2 - 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1)(a^8 + 1)$.
Снова применим формулу разности квадратов к первым двум множителям:
$(a^2 - 1)(a^2 + 1) = (a^2)^2 - 1^2 = a^4 - 1$.

3. Выражение примет вид:
$(a^4 - 1)(a^4 + 1)(a^8 + 1)$.
Продолжаем по аналогии:
$(a^4 - 1)(a^4 + 1) = (a^4)^2 - 1^2 = a^8 - 1$.

4. Остается последнее умножение:
$(a^8 - 1)(a^8 + 1) = (a^8)^2 - 1^2 = a^{16} - 1$.

В результате преобразований мы получили правую часть исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Равенство $(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1)(a^8 + 1) = a^{16} - 1$ доказано.

б)

Для доказательства этого равенства преобразуем его левую часть. Обозначим левую часть как $L$:
$L = (b + c)(b^2 + c^2)(b^4 + c^4)(b^8 + c^8)$.

По условию $b \neq c$, следовательно, выражение $(b - c)$ не равно нулю. Мы можем умножить и разделить левую часть на $(b - c)$, не изменив ее значения:
$L = \frac{(b - c)(b + c)(b^2 + c^2)(b^4 + c^4)(b^8 + c^8)}{b - c}$.

Теперь рассмотрим числитель полученной дроби. Мы можем последовательно применять формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$, как и в предыдущем пункте.

1. $(b - c)(b + c) = b^2 - c^2$.

2. $(b^2 - c^2)(b^2 + c^2) = (b^2)^2 - (c^2)^2 = b^4 - c^4$.

3. $(b^4 - c^4)(b^4 + c^4) = (b^4)^2 - (c^4)^2 = b^8 - c^8$.

4. $(b^8 - c^8)(b^8 + c^8) = (b^8)^2 - (c^8)^2 = b^{16} - c^{16}$.

Итак, числитель дроби равен $b^{16} - c^{16}$. Подставим это значение обратно в выражение для $L$:
$L = \frac{b^{16} - c^{16}}{b - c}$.

Мы показали, что левая часть исходного равенства равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Равенство $(b + c)(b^2 + c^2)(b^4 + c^4)(b^8 + c^8) = \frac{b^{16} - c^{16}}{b - c}$ доказано.