Номер 2.30, страница 57 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.3*. Деление многочленов с остатком. Алгоритм Евклида. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.30, страница 57.

2.30 Сократите дробь:

а) $\frac{x^3 - x^2 + x + 3}{x^2 - 2x + 3}$;

б) $\frac{x^3 + x^2 + 3x - 5}{x^2 + 2x + 5}$;

В) $\frac{x^3 - 1}{x^3 + 2x^2 + 2x + 1}$;

Г) $\frac{x^3 + 8}{x^3 - 4x^2 + 8x - 8}$.

а) $\frac{x^3 - x^2 + x + 3}{x^2 - 2x + 3}$

Для сокращения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. Рассмотрим знаменатель $x^2 - 2x + 3$. Его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. Так как $D < 0$, этот квадратный трехчлен не имеет действительных корней и не раскладывается на линейные множители. Он всегда принимает положительные значения.

Предположим, что дробь можно сократить. Это возможно, если числитель $x^3 - x^2 + x + 3$ делится на знаменатель $x^2 - 2x + 3$. Выполним деление многочленов (например, столбиком), чтобы проверить это. Или можно представить числитель следующим образом:

$x^3 - x^2 + x + 3 = x^3 - 2x^2 + 3x + x^2 - 2x + 3 = x(x^2 - 2x + 3) + 1(x^2 - 2x + 3)$
$x^3 - x^2 + x + 3 = (x+1)(x^2 - 2x + 3)$

Таким образом, числитель раскладывается на множители. Теперь можем сократить дробь:

$\frac{(x+1)(x^2 - 2x + 3)}{x^2 - 2x + 3} = x+1$

Ответ: $x+1$

б) $\frac{x^3 + x^2 + 3x - 5}{x^2 + 2x + 5}$

Рассмотрим знаменатель $x^2 + 2x + 5$. Его дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$. Так как $D < 0$, знаменатель не имеет действительных корней и всегда положителен.

Попробуем разложить на множители числитель $x^3 + x^2 + 3x - 5$. По теореме о рациональных корнях, возможные целые корни – это делители свободного члена -5, то есть $\pm 1, \pm 5$. Проверим $x=1$:

$1^3 + 1^2 + 3(1) - 5 = 1 + 1 + 3 - 5 = 0$.

Значит, $x=1$ является корнем, и многочлен делится на $(x-1)$. Выполним разложение числителя, выделив множитель $(x-1)$:

$x^3 + x^2 + 3x - 5 = (x^3 - x^2) + (2x^2 - 2x) + (5x - 5) = x^2(x-1) + 2x(x-1) + 5(x-1) = (x-1)(x^2 + 2x + 5)$

Теперь можем сократить дробь:

$\frac{(x-1)(x^2 + 2x + 5)}{x^2 + 2x + 5} = x-1$

Ответ: $x-1$

в) $\frac{x^3 - 1}{x^3 + 2x^2 + 2x + 1}$

Разложим числитель по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)$

Разложим на множители знаменатель $x^3 + 2x^2 + 2x + 1$. Проверим возможный целый корень $x=-1$:

$(-1)^3 + 2(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -1 + 2 - 2 + 1 = 0$.

Значит, $(x+1)$ является множителем. Сгруппируем члены в знаменателе:

$x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = (x^3 + 1) + (2x^2 + 2x) = (x+1)(x^2 - x + 1) + 2x(x+1)$
$= (x+1)(x^2 - x + 1 + 2x) = (x+1)(x^2 + x + 1)$

Теперь сократим дробь:

$\frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{(x+1)(x^2 + x + 1)} = \frac{x-1}{x+1}$

Сокращение возможно при условии $x^2 + x + 1 \neq 0$ (что верно для всех действительных $x$, так как его дискриминант отрицателен) и $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.

Ответ: $\frac{x-1}{x+1}$

г) $\frac{x^3 + 8}{x^3 - 4x^2 + 8x - 8}$

Разложим числитель по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$

Разложим на множители знаменатель $x^3 - 4x^2 + 8x - 8$. Проверим возможный целый корень $x=2$:

$2^3 - 4(2^2) + 8(2) - 8 = 8 - 16 + 16 - 8 = 0$.

Значит, $(x-2)$ является множителем. Сгруппируем члены в знаменателе:

$x^3 - 4x^2 + 8x - 8 = (x^3 - 8) - (4x^2 - 8x) = (x-2)(x^2 + 2x + 4) - 4x(x-2)$
$= (x-2)(x^2 + 2x + 4 - 4x) = (x-2)(x^2 - 2x + 4)$

Теперь сократим дробь:

$\frac{(x+2)(x^2 - 2x + 4)}{(x-2)(x^2 - 2x + 4)} = \frac{x+2}{x-2}$

Сокращение возможно при условии $x^2 - 2x + 4 \neq 0$ (что верно для всех действительных $x$, так как его дискриминант отрицателен) и $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

Ответ: $\frac{x+2}{x-2}$