Номер 2.37, страница 60 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.4*. Теорема Безу. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.37, страница 60.

2.37 Найдите остаток от деления многочлена:

а) $(x - 4)^{30}$ на $x - 5$; на $x - 3$;

б) $(2x + 3)^9$ на $x + 2$; на $x + 1$;

в) $(3x + 8)^{2000}$ на $x + 3$.

Для решения данной задачи используется следствие из теоремы Безу, которое утверждает, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - c)$ равен значению этого многочлена в точке $x = c$, то есть $R = P(c)$.

а) Найти остаток от деления многочлена $P(x) = (x - 4)^{30}$ на $x - 5$ и на $x - 3$.

• При делении на $x - 5$, корень делителя $c = 5$. Остаток равен $P(5)$: $P(5) = (5 - 4)^{30} = 1^{30} = 1$.
  Ответ: 1.
• При делении на $x - 3$, корень делителя $c = 3$. Остаток равен $P(3)$: $P(3) = (3 - 4)^{30} = (-1)^{30} = 1$.
  Ответ: 1.

б) Найти остаток от деления многочлена $P(x) = (2x + 3)^9$ на $x + 2$ и на $x + 1$.

• При делении на $x + 2$, корень делителя $c = -2$. Остаток равен $P(-2)$: $P(-2) = (2(-2) + 3)^9 = (-4 + 3)^9 = (-1)^9 = -1$.
  Ответ: -1.
• При делении на $x + 1$, корень делителя $c = -1$. Остаток равен $P(-1)$: $P(-1) = (2(-1) + 3)^9 = (-2 + 3)^9 = 1^9 = 1$.
  Ответ: 1.

в) Найти остаток от деления многочлена $P(x) = (3x + 8)^{2000}$ на $x + 3$.

• При делении на $x + 3$, корень делителя $c = -3$. Остаток равен $P(-3)$: $P(-3) = (3(-3) + 8)^{2000} = (-9 + 8)^{2000} = (-1)^{2000} = 1$.
  Ответ: 1.