Номер 2.41, страница 65 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.5*. Корень многочлена. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.41, страница 65.

Разложите многочлен $P(x)$ на линейные множители, если это возможно (2.41–2.42):

2.41

а) $P(x) = 2x^3 - x^2 - 8x + 4$;

б) $P(x) = 3x^3 - x^2 - 6x + 2$;

в) $P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 3$;

г) $P(x) = 2x^3 - 8x^2 + x - 4$.

а)

Дан многочлен $P(x) = 2x^3 - x^2 - 8x + 4$.

Для разложения многочлена на линейные множители воспользуемся методом группировки слагаемых. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$P(x) = (2x^3 - x^2) + (-8x + 4)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$P(x) = x^2(2x - 1) - 4(2x - 1)$

Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(2x - 1)$:

$P(x) = (2x - 1)(x^2 - 4)$

Выражение в скобках $x^2 - 4$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Подставляя это в наше выражение, получаем окончательное разложение многочлена на линейные множители:

$P(x) = (2x - 1)(x - 2)(x + 2)$

Ответ: $P(x) = (2x - 1)(x - 2)(x + 2)$.

б)

Дан многочлен $P(x) = 3x^3 - x^2 - 6x + 2$.

Применим метод группировки. Сгруппируем попарно слагаемые:

$P(x) = (3x^3 - x^2) + (-6x + 2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$P(x) = x^2(3x - 1) - 2(3x - 1)$

Вынесем общий множитель $(3x - 1)$ за скобки:

$P(x) = (3x - 1)(x^2 - 2)$

Выражение $x^2 - 2$ можно разложить как разность квадратов, представив 2 как $(\sqrt{2})^2$:

$x^2 - 2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$

Таким образом, получаем разложение исходного многочлена на линейные множители:

$P(x) = (3x - 1)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$

Ответ: $P(x) = (3x - 1)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$.

в)

Дан многочлен $P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 3$.

Воспользуемся методом группировки:

$P(x) = (2x^3 - 3x^2) + (2x - 3)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$P(x) = x^2(2x - 3) + 1(2x - 3)$

Вынесем общий множитель $(2x - 3)$:

$P(x) = (2x - 3)(x^2 + 1)$

Для разложения на линейные множители необходимо разложить и множитель $x^2 + 1$. Если мы рассматриваем разложение в поле действительных чисел, то многочлен $x^2 + 1$ не имеет действительных корней и является неприводимым. Однако, если допускаются комплексные числа, то разложение возможно. Корнями уравнения $x^2 + 1 = 0$ являются $x = i$ и $x = -i$. Тогда:

$x^2 + 1 = (x - i)(x + i)$

Подставляя это в наше выражение, получаем полное разложение на линейные множители в поле комплексных чисел:

$P(x) = (2x - 3)(x - i)(x + i)$

Ответ: $P(x) = (2x - 3)(x - i)(x + i)$.

г)

Дан многочлен $P(x) = 2x^3 - 8x^2 + x - 4$.

Сгруппируем слагаемые:

$P(x) = (2x^3 - 8x^2) + (x - 4)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$P(x) = 2x^2(x - 4) + 1(x - 4)$

Вынесем общий множитель $(x - 4)$:

$P(x) = (x - 4)(2x^2 + 1)$

Рассмотрим множитель $2x^2 + 1$. Чтобы разложить его на линейные множители, нужно найти корни уравнения $2x^2 + 1 = 0$. Это уравнение не имеет действительных корней. В поле комплексных чисел корнями являются $x = \pm\sqrt{-1/2} = \pm \frac{i}{\sqrt{2}} = \pm \frac{i\sqrt{2}}{2}$.

Тогда множитель $2x^2 + 1$ раскладывается следующим образом:

$2x^2 + 1 = 2(x^2 + 1/2) = 2(x - \frac{i\sqrt{2}}{2})(x + \frac{i\sqrt{2}}{2})$

Следовательно, полное разложение многочлена на линейные множители имеет вид:

$P(x) = 2(x - 4)(x - \frac{i\sqrt{2}}{2})(x + \frac{i\sqrt{2}}{2})$

Ответ: $P(x) = 2(x - 4)(x - \frac{i\sqrt{2}}{2})(x + \frac{i\sqrt{2}}{2})$.