Номер 2.42, страница 65 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.5*. Корень многочлена. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.42, страница 65.

2.42 а) $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$;

б) $P(x) = x^4 - 8x^2 - 9$;

В) $P(x) = x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6$;

Г) $P(x) = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x - 8$.

а) $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$

Данный многочлен является биквадратным. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$. Тогда многочлен примет вид:

$y^2 - 5y + 4$

Найдем корни квадратного уравнения $y^2 - 5y + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Следовательно, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 4$.

Теперь мы можем разложить квадратный трехчлен на множители: $(y - 1)(y - 4)$.

Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $x^2$ вместо $y$:

$P(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 4)$

Оба множителя являются разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$

Таким образом, окончательное разложение многочлена на множители имеет вид:

$P(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

Ответ: $P(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$.

б) $P(x) = x^4 - 8x^2 - 9$

Это также биквадратный многочлен. Сделаем замену $y = x^2$. Получим квадратный трехчлен:

$y^2 - 8y - 9$

Найдем корни уравнения $y^2 - 8y - 9 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно -9. Корни: $y_1 = 9$ и $y_2 = -1$.

Разложим на множители: $(y - 9)(y - (-1)) = (y - 9)(y + 1)$.

Произведем обратную замену $y = x^2$:

$P(x) = (x^2 - 9)(x^2 + 1)$

Первый множитель $x^2 - 9$ является разностью квадратов: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

Второй множитель $x^2 + 1$ не имеет действительных корней и не раскладывается на линейные множители в поле действительных чисел.

Следовательно, разложение многочлена:

$P(x) = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 1)$

Ответ: $P(x) = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 1)$.

в) $P(x) = x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6$

Для разложения этого многочлена на множители найдем его целые корни. Согласно теореме о рациональных корнях, целые корни многочлена с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена, равного -6.

Делители числа -6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Проверим их поочередно, подставляя в многочлен:

$P(1) = 1^4 - 5(1)^3 + 5(1)^2 + 5(1) - 6 = 1 - 5 + 5 + 5 - 6 = 0$. Значит, $x = 1$ является корнем, и $(x-1)$ — один из множителей.

$P(-1) = (-1)^4 - 5(-1)^3 + 5(-1)^2 + 5(-1) - 6 = 1 + 5 + 5 - 5 - 6 = 0$. Значит, $x = -1$ является корнем, и $(x+1)$ — множитель.

$P(2) = 2^4 - 5(2)^3 + 5(2)^2 + 5(2) - 6 = 16 - 40 + 20 + 10 - 6 = 0$. Значит, $x = 2$ является корнем, и $(x-2)$ — множитель.

$P(3) = 3^4 - 5(3)^3 + 5(3)^2 + 5(3) - 6 = 81 - 135 + 45 + 15 - 6 = 0$. Значит, $x = 3$ является корнем, и $(x-3)$ — множитель.

Мы нашли четыре корня многочлена четвертой степени: 1, -1, 2, 3. Так как старший коэффициент равен 1, разложение многочлена имеет вид:

$P(x) = (x - 1)(x - (-1))(x - 2)(x - 3) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x - 3)$

Ответ: $P(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x - 3)$.

г) $P(x) = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x - 8$

Заметим, что этот многочлен можно сгруппировать. Перепишем его, выделив полный квадрат:

$P(x) = (x^4 + 2x^3 + x^2) + (2x^2 + 2x) - 8$

Сгруппируем первые три слагаемых и вынесем общий множитель из следующих двух:

$P(x) = (x^2 + x)^2 + 2(x^2 + x) - 8$

Сделаем замену переменной $z = x^2 + x$. Многочлен примет вид квадратного трехчлена относительно $z$:

$z^2 + 2z - 8$

Найдем корни уравнения $z^2 + 2z - 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение -8. Корни: $z_1 = 2$ и $z_2 = -4$.

Разложим на множители: $(z - 2)(z - (-4)) = (z - 2)(z + 4)$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $x^2 + x$ вместо $z$:

$P(x) = (x^2 + x - 2)(x^2 + x + 4)$

Разложим на множители первый квадратный трехчлен $x^2 + x - 2$. Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ — это $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Следовательно, $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$.

Рассмотрим второй квадратный трехчлен $x^2 + x + 4$. Найдем его дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$. Так как дискриминант отрицательный, этот трехчлен не имеет действительных корней и не раскладывается на множители в поле действительных чисел.

Таким образом, окончательное разложение многочлена:

$P(x) = (x - 1)(x + 2)(x^2 + x + 4)$

Ответ: $P(x) = (x - 1)(x + 2)(x^2 + x + 4)$.