Номер 2.48, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.6. Рациональные уравнения. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.48, страница 69.

2.48 a) $ \frac{60}{20+x} + \frac{60}{20-x} = \frac{25}{4}; $

б) $ \frac{1}{5-x} + \frac{90}{25-x^2} = \frac{4-x}{5+x}; $

В) $ \frac{3}{x^2-2x+1} + \frac{2}{1-x^2} = \frac{1}{x+1}; $

Г) $ \frac{2}{x^2+12x+36} - \frac{12}{36-x^2} = \frac{1}{x-6}. $

а) $\frac{60}{20 + x} + \frac{60}{20 - x} = \frac{25}{4}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю, поэтому $20 + x \neq 0$ и $20 - x \neq 0$. Отсюда $x \neq -20$ и $x \neq 20$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(20 + x)(20 - x) = 400 - x^2$:

$\frac{60(20 - x) + 60(20 + x)}{(20 + x)(20 - x)} = \frac{25}{4}$

$\frac{1200 - 60x + 1200 + 60x}{400 - x^2} = \frac{25}{4}$

$\frac{2400}{400 - x^2} = \frac{25}{4}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции:

$2400 \cdot 4 = 25 \cdot (400 - x^2)$

$9600 = 10000 - 25x^2$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$25x^2 = 10000 - 9600$

$25x^2 = 400$

$x^2 = \frac{400}{25}$

$x^2 = 16$

$x_1 = 4$, $x_2 = -4$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 20$).

Ответ: $4; -4$.

б) $\frac{1}{5 - x} + \frac{90}{25 - x^2} = \frac{4 - x}{5 + x}$

ОДЗ: $5 - x \neq 0 \implies x \neq 5$; $5 + x \neq 0 \implies x \neq -5$; $25 - x^2 \neq 0 \implies x \neq \pm 5$.

Разложим знаменатель $25 - x^2$ на множители: $25 - x^2 = (5 - x)(5 + x)$. Общий знаменатель для всех дробей — $(5 - x)(5 + x)$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(5 - x)(5 + x)$:

$1 \cdot (5 + x) + 90 = (4 - x)(5 - x)$

Раскроем скобки и упростим:

$5 + x + 90 = 20 - 4x - 5x + x^2$

$x + 95 = x^2 - 9x + 20$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 9x - x + 20 - 95 = 0$

$x^2 - 10x - 75 = 0$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4(1)(-75) = 100 + 300 = 400$. $\sqrt{D} = 20$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 20}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 20}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 15$ удовлетворяет условию $x \neq \pm 5$. Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет ОДЗ, так как обращает знаменатель в ноль, и является посторонним корнем.

Ответ: $15$.

в) $\frac{3}{x^2 - 2x + 1} + \frac{2}{1 - x^2} = \frac{1}{x + 1}$

ОДЗ: $x^2 - 2x + 1 \neq 0 \implies (x-1)^2 \neq 0 \implies x \neq 1$; $1 - x^2 \neq 0 \implies x \neq \pm 1$; $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$. Итого, $x \neq \pm 1$.

Преобразуем знаменатели: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$; $1 - x^2 = (1-x)(1+x) = -(x-1)(x+1)$.

Перепишем уравнение:

$\frac{3}{(x - 1)^2} - \frac{2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x + 1}$

Общий знаменатель: $(x-1)^2(x+1)$. Умножим обе части уравнения на него:

$3(x + 1) - 2(x - 1) = 1(x - 1)^2$

$3x + 3 - 2x + 2 = x^2 - 2x + 1$

$x + 5 = x^2 - 2x + 1$

$x^2 - 2x - x + 1 - 5 = 0$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -4. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $x \neq \pm 1$. Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Ответ: $4$.

г) $\frac{2}{x^2 + 12x + 36} - \frac{12}{36 - x^2} = \frac{1}{x - 6}$

ОДЗ: $x^2 + 12x + 36 \neq 0 \implies (x+6)^2 \neq 0 \implies x \neq -6$; $36 - x^2 \neq 0 \implies x \neq \pm 6$; $x - 6 \neq 0 \implies x \neq 6$. Итого, $x \neq \pm 6$.

Преобразуем знаменатели: $x^2 + 12x + 36 = (x+6)^2$; $36 - x^2 = (6-x)(6+x) = -(x-6)(x+6)$.

Перепишем уравнение:

$\frac{2}{(x + 6)^2} - \frac{12}{-(x - 6)(x + 6)} = \frac{1}{x - 6}$

$\frac{2}{(x + 6)^2} + \frac{12}{(x - 6)(x + 6)} = \frac{1}{x - 6}$

Общий знаменатель: $(x+6)^2(x-6)$. Умножим обе части уравнения на него:

$2(x - 6) + 12(x + 6) = 1(x + 6)^2$

$2x - 12 + 12x + 72 = x^2 + 12x + 36$

$14x + 60 = x^2 + 12x + 36$

$x^2 + 12x - 14x + 36 - 60 = 0$

$x^2 - 2x - 24 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -24. Корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -4$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 6$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним. Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет условию $x \neq \pm 6$.

Ответ: $-4$.