Номер 2.55, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.6. Рациональные уравнения. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.55, страница 70.

2.55 a) $ \frac{x^3 - 6x^2 + 11x - 6}{x - 2} = 0; $

б) $ \frac{x^3 - 7x + 6}{x^2 + x - 6} = 0; $

В) $ \frac{2x^3 - 3x^2 - 11x + 6}{2x^3 - x^2 + 2x - 1} = 0; $

Г) $ \frac{3x^3 + 4x^2 - 5x - 2}{3x^3 + 4x^2 - 5x + 2} = 0. $

а)

Данное уравнение является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.

Запишем это в виде системы: $ \begin{cases} x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases} $

1. Решим уравнение $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$. Найдем целые корни среди делителей свободного члена (-6): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$. Проверим $x=1$: $1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем. Разделим многочлен $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ на $(x-1)$ столбиком или по схеме Горнера.

$(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) : (x - 1) = x^2 - 5x + 6$.

Теперь уравнение можно записать в виде: $(x - 1)(x^2 - 5x + 6) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$ или $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения: $x_2 = 2$ и $x_3 = 3$.

Таким образом, корни числителя: $x=1, x=2, x=3$.

2. Проверим условие $x - 2 \neq 0$. Отсюда $x \neq 2$.

3. Исключим из корней числителя те, которые обращают знаменатель в ноль. Корень $x=2$ не удовлетворяет условию $x \neq 2$, поэтому он не является решением исходного уравнения. Остаются корни $x=1$ и $x=3$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 3$.

б)

Уравнение равносильно системе: $ \begin{cases} x^3 - 7x + 6 = 0 \\ x^2 + x - 6 \neq 0 \end{cases} $

1. Решим уравнение $x^3 - 7x + 6 = 0$. Найдем целые корни среди делителей свободного члена (6): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$. Проверим $x=1$: $1^3 - 7(1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем. Разделим многочлен $x^3 - 7x + 6$ на $(x-1)$: $(x^3 - 7x + 6) : (x - 1) = x^2 + x - 6$.

Уравнение примет вид: $(x - 1)(x^2 + x - 6) = 0$. Отсюда $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$ или $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни: $x_2 = 2$ и $x_3 = -3$.

Корни числителя: $x=1, x=2, x=-3$.

2. Решим неравенство $x^2 + x - 6 \neq 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. Это то же самое уравнение, что мы решали выше. Его корни $x=2$ и $x=-3$. Следовательно, область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 2$ и $x \neq -3$.

3. Сравним корни числителя с ОДЗ. Корни $x=2$ и $x=-3$ не входят в ОДЗ, поэтому они являются посторонними. Остается только корень $x=1$.

Ответ: $x=1$.

в)

Уравнение равносильно системе: $ \begin{cases} 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6 = 0 \\ 2x^3 - x^2 + 2x - 1 \neq 0 \end{cases} $

1. Решим уравнение $2x^3 - 3x^2 - 11x + 6 = 0$. Возможные рациональные корни по теореме о рациональных корнях: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{3}{2}$. Проверим $x=-2$: $2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 11(-2) + 6 = 2(-8) - 3(4) + 22 + 6 = -16 - 12 + 22 + 6 = 0$. Значит, $x=-2$ является корнем. Разделим многочлен $2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$ на $(x+2)$: $(2x^3 - 3x^2 - 11x + 6) : (x + 2) = 2x^2 - 7x + 3$.

Уравнение примет вид: $(x + 2)(2x^2 - 7x + 3) = 0$. Отсюда $x + 2 = 0 \implies x_1 = -2$ или $2x^2 - 7x + 3 = 0$. Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$. $x = \frac{7 \pm 5}{4}$. $x_2 = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3$. $x_3 = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Корни числителя: $x=-2, x=3, x=\frac{1}{2}$.

2. Проверим условие $2x^3 - x^2 + 2x - 1 \neq 0$. Найдем корни знаменателя, разложив его на множители группировкой: $2x^3 - x^2 + 2x - 1 = x^2(2x - 1) + 1(2x - 1) = (x^2 + 1)(2x - 1)$. Уравнение $(x^2 + 1)(2x - 1) = 0$ имеет единственный действительный корень $x=\frac{1}{2}$ (т.к. $x^2+1>0$ для любого $x \in \mathbb{R}$). Следовательно, ОДЗ: $x \neq \frac{1}{2}$.

3. Исключим из корней числителя те, которые не входят в ОДЗ. Корень $x=\frac{1}{2}$ является посторонним. Остаются корни $x=-2$ и $x=3$.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 3$.

г)

Уравнение равносильно системе: $ \begin{cases} 3x^3 + 4x^2 - 5x - 2 = 0 \\ 3x^3 + 4x^2 - 5x + 2 \neq 0 \end{cases} $

1. Решим уравнение числителя: $3x^3 + 4x^2 - 5x - 2 = 0$. Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm2, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{2}{3}$. Проверим $x=1$: $3(1)^3 + 4(1)^2 - 5(1) - 2 = 3 + 4 - 5 - 2 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем. Разделим многочлен $3x^3 + 4x^2 - 5x - 2$ на $(x-1)$: $(3x^3 + 4x^2 - 5x - 2) : (x - 1) = 3x^2 + 7x + 2$.

Уравнение примет вид: $(x - 1)(3x^2 + 7x + 2) = 0$. Отсюда $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$ или $3x^2 + 7x + 2 = 0$. Решим квадратное уравнение: $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 = 5^2$. $x = \frac{-7 \pm 5}{6}$. $x_2 = \frac{-7+5}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$. $x_3 = \frac{-7-5}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.

Корни числителя: $x=1, x=-\frac{1}{3}, x=-2$.

2. Проверим условие $3x^3 + 4x^2 - 5x + 2 \neq 0$. Подставим найденные корни числителя в выражение знаменателя. Если результат не будет равен нулю, то корень является решением исходного уравнения.

Для $x=1$: $3(1)^3 + 4(1)^2 - 5(1) + 2 = 3 + 4 - 5 + 2 = 4 \neq 0$. Корень подходит.

Для $x=-\frac{1}{3}$: $3(-\frac{1}{3})^3 + 4(-\frac{1}{3})^2 - 5(-\frac{1}{3}) + 2 = 3(-\frac{1}{27}) + 4(\frac{1}{9}) + \frac{5}{3} + 2 = -\frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{15}{9} + \frac{18}{9} = \frac{36}{9} = 4 \neq 0$. Корень подходит.

Для $x=-2$: $3(-2)^3 + 4(-2)^2 - 5(-2) + 2 = 3(-8) + 4(4) + 10 + 2 = -24 + 16 + 10 + 2 = 4 \neq 0$. Корень подходит.

Все три корня числителя удовлетворяют условию, что знаменатель не равен нулю.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -2, x_3 = -\frac{1}{3}$.