Номер 2.53, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.6. Рациональные уравнения. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.53, страница 70.

Решите уравнение (2.53–2.55):

2.53

а) $x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = 0$;

б) $x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0$;

в) $x^3 - 2x - 4 = 0$;

г) $x^3 - 6x - 9 = 0$;

д) $x^4 + x^3 + 5x^2 + 4x + 4 = 0$;

е) $x^5 + 3x^3 + 2x = 0$.

а) $x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = 0$
Это кубическое уравнение с целыми коэффициентами. Согласно теореме о рациональных корнях, если уравнение имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена (числа 6). Делители числа 6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Проверим $x = -1$:
$(-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0$.
Так как равенство верное, $x_1 = -1$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $x^3 + 6x^2 + 11x + 6$ делится на $(x - (-1)) = (x+1)$ без остатка. Выполним деление многочлена на двучлен, например, по схеме Горнера:

	1	6	11	6
-1		-1	-5	-6
	1	5	6	0

В результате деления получаем квадратный трехчлен $x^2 + 5x + 6$. Приравняем его к нулю, чтобы найти остальные корни:
$x^2 + 5x + 6 = 0$
Это квадратное уравнение можно решить по теореме Виета. Сумма корней равна -5, а произведение равно 6. Корни: $x_2 = -2$ и $x_3 = -3$.
Таким образом, исходное уравнение имеет три корня.
Ответ: $-3; -2; -1$.

б) $x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0$
Будем искать целые корни среди делителей свободного члена -6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Проверим $x = -1$:
$(-1)^3 + 2(-1)^2 - 5(-1) - 6 = -1 + 2 + 5 - 6 = 0$.
Корень $x_1 = -1$ найден. Разделим многочлен $x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ на $(x+1)$: $(x^3 + 2x^2 - 5x - 6) : (x+1) = x^2 + x - 6$.
Теперь решим квадратное уравнение:
$x^2 + x - 6 = 0$
По теореме Виета: сумма корней равна -1, произведение равно -6. Корни: $x_2 = 2$ и $x_3 = -3$.
Таким образом, все корни исходного уравнения найдены.
Ответ: $-3; -1; 2$.

в) $x^3 - 2x - 4 = 0$
Ищем целые корни среди делителей свободного члена -4: $\pm1, \pm2, \pm4$.
Проверим $x = 2$:
$2^3 - 2(2) - 4 = 8 - 4 - 4 = 0$.
Корень $x_1 = 2$ найден. Разделим многочлен $x^3 - 2x - 4$ на $(x-2)$: $(x^3 + 0x^2 - 2x - 4) : (x-2) = x^2 + 2x + 2$.
Решим квадратное уравнение:
$x^2 + 2x + 2 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.
Так как $D < 0$, действительных корней у этого квадратного уравнения нет. Корни являются комплексными: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i$.
Таким образом, уравнение имеет один действительный корень и два комплексных корня.
Ответ: $2; -1-i; -1+i$.

г) $x^3 - 6x - 9 = 0$
Ищем целые корни среди делителей свободного члена -9: $\pm1, \pm3, \pm9$.
Проверим $x = 3$:
$3^3 - 6(3) - 9 = 27 - 18 - 9 = 0$.
Корень $x_1 = 3$ найден. Разделим многочлен $x^3 - 6x - 9$ на $(x-3)$: $(x^3 + 0x^2 - 6x - 9) : (x-3) = x^2 + 3x + 3$.
Решим квадратное уравнение:
$x^2 + 3x + 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет. Комплексные корни: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-3 \pm i\sqrt{3}}{2}$.
Уравнение имеет один действительный корень и два комплексных корня.
Ответ: $3; \frac{-3 - i\sqrt{3}}{2}; \frac{-3 + i\sqrt{3}}{2}$.

д) $x^4 + x^3 + 5x^2 + 4x + 4 = 0$
Попытка найти целые корни среди делителей свободного члена 4 ($\pm1, \pm2, \pm4$) не дает результата. Попробуем метод группировки. Представим $5x^2$ как $x^2 + 4x^2$:
$x^4 + x^3 + x^2 + 4x^2 + 4x + 4 = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^4 + x^3 + x^2) + (4x^2 + 4x + 4) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^2(x^2 + x + 1) + 4(x^2 + x + 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(x^2 + x + 1)$:
$(x^2 + 4)(x^2 + x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:
1) $x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4 \implies x = \pm \sqrt{-4} \implies x = \pm 2i$.
2) $x^2 + x + 1 = 0$. Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Корни: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.
Все четыре корня уравнения являются комплексными. Действительных корней нет.
Ответ: $2i; -2i; \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}; \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$.

е) $x^5 + 3x^3 + 2x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^4 + 3x^2 + 2) = 0$
Отсюда следует, что либо $x_1 = 0$, либо $x^4 + 3x^2 + 2 = 0$.
Решим биквадратное уравнение $x^4 + 3x^2 + 2 = 0$. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$ для действительных $x$, то и $y \ge 0$.
$y^2 + 3y + 2 = 0$
По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения $y_1 = -1$ и $y_2 = -2$.
Оба значения $y$ отрицательны, поэтому действительных решений для $x$ на этом шаге нет. Однако, если искать комплексные корни, то:
Вернемся к замене:
1) $x^2 = y_1 = -1 \implies x = \pm \sqrt{-1} \implies x = \pm i$.
2) $x^2 = y_2 = -2 \implies x = \pm \sqrt{-2} \implies x = \pm i\sqrt{2}$.
Таким образом, уравнение имеет один действительный корень и четыре комплексных корня.
Ответ: $0; i; -i; i\sqrt{2}; -i\sqrt{2}$.