Номер 2.57, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.7. Системы рациональных уравнений. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.57, страница 74.

2.57 a) $\begin{cases} y^2 - 3xy = -2 \\ x^2 + 5xy = 11; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - 7xy = 18 \\ y^2 + 5xy = -9; \end{cases}$

В) $\begin{cases} x^2 - 8y + 31 = 0 \\ y^2 - 2x - 14 = 0; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} x^2 + 6y + 14 = 0 \\ y^2 + 4x - 1 = 0. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y^2 - 3xy = -2 \\ x^2 + 5xy = 11 \end{cases} $

Это система, в которой левые части являются однородными многочленами. Чтобы избавиться от свободных членов, умножим первое уравнение на 11, а второе на 2:

$ \begin{cases} 11(y^2 - 3xy) = -2 \cdot 11 \\ 2(x^2 + 5xy) = 11 \cdot 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 11y^2 - 33xy = -22 \\ 2x^2 + 10xy = 22 \end{cases} $

Сложим полученные уравнения:

$(11y^2 - 33xy) + (2x^2 + 10xy) = -22 + 22$

$2x^2 - 23xy + 11y^2 = 0$

Это однородное уравнение второй степени. Предположим, что $y \neq 0$, и разделим уравнение на $y^2$:

$2\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 23\left(\frac{x}{y}\right) + 11 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Получаем квадратное уравнение:

$2t^2 - 23t + 11 = 0$

Найдем его корни. Дискриминант $D = (-23)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 529 - 88 = 441 = 21^2$.

$t_1 = \frac{23 - 21}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{23 + 21}{2 \cdot 2} = \frac{44}{4} = 11$

Теперь вернемся к исходным переменным. Рассмотрим два случая:

1) $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$, откуда $y = 2x$. Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы:

$x^2 + 5x(2x) = 11$

$x^2 + 10x^2 = 11$

$11x^2 = 11 \implies x^2 = 1$. Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 2(1) = 2$.

Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 2(-1) = -2$.

Получили две пары решений: $(1; 2)$ и $(-1; -2)$.

2) $\frac{x}{y} = 11$, откуда $x = 11y$. Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы:

$y^2 - 3(11y)y = -2$

$y^2 - 33y^2 = -2$

$-32y^2 = -2 \implies y^2 = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}$. Отсюда $y_3 = \frac{1}{4}$ и $y_4 = -\frac{1}{4}$.

Если $y_3 = \frac{1}{4}$, то $x_3 = 11(\frac{1}{4}) = \frac{11}{4}$.

Если $y_4 = -\frac{1}{4}$, то $x_4 = 11(-\frac{1}{4}) = -\frac{11}{4}$.

Получили еще две пары решений: $(\frac{11}{4}; \frac{1}{4})$ и $(-\frac{11}{4}; -\frac{1}{4})$.

Заметим, что если $y=0$, то первое уравнение системы принимает вид $0 = -2$, что неверно. Следовательно, наше предположение $y \neq 0$ было верным.

Ответ: $(1; 2), (-1; -2), (\frac{11}{4}; \frac{1}{4}), (-\frac{11}{4}; -\frac{1}{4})$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 7xy = 18 \\ y^2 + 5xy = -9 \end{cases} $

Умножим второе уравнение на 2, чтобы при сложении с первым уравнением избавиться от свободных членов:

$ \begin{cases} x^2 - 7xy = 18 \\ 2y^2 + 10xy = -18 \end{cases} $

Сложим уравнения:

$(x^2 - 7xy) + (2y^2 + 10xy) = 18 - 18$

$x^2 + 3xy + 2y^2 = 0$

Предполагая, что $y \neq 0$, разделим уравнение на $y^2$:

$\left(\frac{x}{y}\right)^2 + 3\left(\frac{x}{y}\right) + 2 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$t^2 + 3t + 2 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = -1$ и $t_2 = -2$.

Рассмотрим два случая:

1) $\frac{x}{y} = -1$, откуда $x = -y$. Подставим в первое уравнение системы:

$(-y)^2 - 7(-y)y = 18$

$y^2 + 7y^2 = 18$

$8y^2 = 18 \implies y^2 = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$. Отсюда $y_1 = \frac{3}{2}$ и $y_2 = -\frac{3}{2}$.

Если $y_1 = \frac{3}{2}$, то $x_1 = -\frac{3}{2}$.

Если $y_2 = -\frac{3}{2}$, то $x_2 = \frac{3}{2}$.

Получили две пары решений: $(-\frac{3}{2}; \frac{3}{2})$ и $(\frac{3}{2}; -\frac{3}{2})$.

2) $\frac{x}{y} = -2$, откуда $x = -2y$. Подставим в первое уравнение:

$(-2y)^2 - 7(-2y)y = 18$

$4y^2 + 14y^2 = 18$

$18y^2 = 18 \implies y^2 = 1$. Отсюда $y_3 = 1$ и $y_4 = -1$.

Если $y_3 = 1$, то $x_3 = -2(1) = -2$.

Если $y_4 = -1$, то $x_4 = -2(-1) = 2$.

Получили еще две пары решений: $(-2; 1)$ и $(2; -1)$.

Если $y=0$, второе уравнение системы принимает вид $0 = -9$, что неверно. Следовательно, $y \neq 0$.

Ответ: $(-\frac{3}{2}; \frac{3}{2}), (\frac{3}{2}; -\frac{3}{2}), (-2; 1), (2; -1)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 8y + 31 = 0 \\ y^2 - 2x - 14 = 0 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(x^2 - 8y + 31) + (y^2 - 2x - 14) = 0 + 0$

$x^2 - 2x + y^2 - 8y + 17 = 0$

Сгруппируем члены с $x$ и с $y$ и выделим полные квадраты:

$(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 - 8y + 16) - 16 + 17 = 0$

$(x - 1)^2 + (y - 4)^2 + (-1 - 16 + 17) = 0$

$(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 0$

Сумма двух неотрицательных чисел (квадратов) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю.

$(x - 1)^2 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$.

$(y - 4)^2 = 0 \implies y - 4 = 0 \implies y = 4$.

Выполним проверку, подставив найденное решение $(1; 4)$ в исходные уравнения.

Первое уравнение: $1^2 - 8(4) + 31 = 1 - 32 + 31 = 0$. Верно.

Второе уравнение: $4^2 - 2(1) - 14 = 16 - 2 - 14 = 0$. Верно.

Ответ: $(1; 4)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 6y + 14 = 0 \\ y^2 + 4x - 1 = 0 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(x^2 + 6y + 14) + (y^2 + 4x - 1) = 0 + 0$

$x^2 + 4x + y^2 + 6y + 13 = 0$

Сгруппируем члены с $x$ и с $y$ и выделим полные квадраты:

$(x^2 + 4x + 4) - 4 + (y^2 + 6y + 9) - 9 + 13 = 0$

$(x + 2)^2 + (y + 3)^2 + (-4 - 9 + 13) = 0$

$(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 0$

Сумма двух квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждый из них равен нулю.

$(x + 2)^2 = 0 \implies x + 2 = 0 \implies x = -2$.

$(y + 3)^2 = 0 \implies y + 3 = 0 \implies y = -3$.

Выполним проверку, подставив найденное решение $(-2; -3)$ в исходные уравнения.

Первое уравнение: $(-2)^2 + 6(-3) + 14 = 4 - 18 + 14 = 0$. Верно.

Второе уравнение: $(-3)^2 + 4(-2) - 1 = 9 - 8 - 1 = 0$. Верно.

Ответ: $(-2; -3)$.