Номер 2.52, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.6. Рациональные уравнения. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.52, страница 69.

2.52* a) $ \frac{x}{x+a} + \frac{x}{x-a} = 2\frac{2}{3}; $

б) $ \frac{x}{a} + \frac{1}{ax-bx} + \frac{b}{a^2x-abx} = \frac{2}{a-b}; $

В) $ \frac{2x}{x-b} + \frac{12x^2}{b^2-x^2} = \frac{b-x}{x+b}; $

Г) $ \frac{x+a}{x-a} + \frac{x-a}{x+a} = \frac{a(3x+2a)}{x^2-a^2}, $

где a и b — данные числа.

а) $\frac{x}{x+a} + \frac{x}{x-a} = 2\frac{2}{3}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю, поэтому $x+a \neq 0$ и $x-a \neq 0$, что означает $x \neq \pm a$.

Переведем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(x+a)(x-a) = x^2 - a^2$:
$\frac{x(x-a) + x(x+a)}{(x+a)(x-a)} = \frac{8}{3}$
$\frac{x^2 - ax + x^2 + ax}{x^2 - a^2} = \frac{8}{3}$
$\frac{2x^2}{x^2 - a^2} = \frac{8}{3}$

Теперь решим полученную пропорцию, используя перекрестное умножение:
$3 \cdot (2x^2) = 8 \cdot (x^2 - a^2)$
$6x^2 = 8x^2 - 8a^2$
$8a^2 = 8x^2 - 6x^2$
$8a^2 = 2x^2$
$x^2 = 4a^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$x = \pm \sqrt{4a^2}$
$x = \pm 2a$

Полученные корни $x_1 = 2a$ и $x_2 = -2a$ удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm a$), если $a \neq 0$. Если $a = 0$, исходное уравнение теряет смысл.

Ответ: при $a \neq 0$ $x_1 = 2a, x_2 = -2a$; при $a=0$ решений нет.

б) $\frac{x}{a} + \frac{1}{ax-bx} + \frac{b}{a^2x-abx} = \frac{2}{a-b}$

ОДЗ: $a \neq 0$, $ax-bx \neq 0 \Rightarrow x(a-b) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, a \neq b$.

Разложим знаменатели на множители: $ax-bx = x(a-b)$ и $a^2x-abx = ax(a-b)$. Уравнение принимает вид:
$\frac{x}{a} + \frac{1}{x(a-b)} + \frac{b}{ax(a-b)} = \frac{2}{a-b}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $ax(a-b)$:
$\frac{x \cdot x(a-b) + 1 \cdot a + b}{ax(a-b)} = \frac{2}{a-b}$
$\frac{x^2(a-b) + a + b}{ax(a-b)} = \frac{2}{a-b}$

Умножим обе части на $ax(a-b)$ (учитывая ОДЗ, это выражение не равно нулю):
$x^2(a-b) + a + b = \frac{2 \cdot ax(a-b)}{a-b}$
$x^2(a-b) + a + b = 2ax$

Перепишем уравнение в виде стандартного квадратного уравнения относительно $x$:
$(a-b)x^2 - 2ax + (a+b) = 0$

Найдем дискриминант $D$:
$D = (-2a)^2 - 4(a-b)(a+b) = 4a^2 - 4(a^2-b^2) = 4a^2 - 4a^2 + 4b^2 = 4b^2 = (2b)^2$

Найдем корни уравнения:
$x = \frac{2a \pm \sqrt{(2b)^2}}{2(a-b)} = \frac{2a \pm 2b}{2(a-b)} = \frac{a \pm b}{a-b}$

Отсюда получаем два корня:
$x_1 = \frac{a+b}{a-b}$
$x_2 = \frac{a-b}{a-b} = 1$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0$). Корень $x_2=1$ всегда удовлетворяет этому условию. Корень $x_1$ равен нулю, если $a+b=0$, то есть $a=-b$. В этом случае корень $x_1=0$ не подходит.

Ответ: если $a \neq 0, a \neq b, a \neq -b$, то $x_1 = \frac{a+b}{a-b}, x_2=1$; если $a=-b$ (и $b \neq 0$), то $x=1$.

в) $\frac{2x}{x-b} + \frac{12x^2}{b^2-x^2} = \frac{b-x}{x+b}$

ОДЗ: $x-b \neq 0 \Rightarrow x \neq b$; $x+b \neq 0 \Rightarrow x \neq -b$; $b^2-x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm b$.

Преобразуем знаменатель второй дроби и числитель правой части: $b^2-x^2 = -(x^2-b^2) = -(x-b)(x+b)$ и $b-x = -(x-b)$.
$\frac{2x}{x-b} - \frac{12x^2}{(x-b)(x+b)} = \frac{-(x-b)}{x+b}$

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю $(x-b)(x+b)$:
$\frac{2x(x+b)}{(x-b)(x+b)} - \frac{12x^2}{(x-b)(x+b)} + \frac{(x-b)(x-b)}{(x-b)(x+b)} = 0$

Так как знаменатель не равен нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числитель к нулю:
$2x(x+b) - 12x^2 + (x-b)^2 = 0$
$2x^2 + 2bx - 12x^2 + x^2 - 2bx + b^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:
$(2-12+1)x^2 + (2b-2b)x + b^2 = 0$
$-9x^2 + b^2 = 0$
$9x^2 = b^2$
$x^2 = \frac{b^2}{9}$

Извлекая корень, получаем:
$x = \pm \frac{b}{3}$

Если $b \neq 0$, то $x = \pm \frac{b}{3}$ не совпадает с $\pm b$, следовательно, корни удовлетворяют ОДЗ. Если $b=0$, то ОДЗ: $x \neq 0$, а уравнение дает корень $x=0$, который не подходит.

Ответ: при $b \neq 0$ $x_1 = \frac{b}{3}, x_2 = -\frac{b}{3}$; при $b=0$ решений нет.

г) $\frac{x+a}{x-a} + \frac{x-a}{x+a} = \frac{a(3x+2a)}{x^2-a^2}$

ОДЗ: $x-a \neq 0 \Rightarrow x \neq a$; $x+a \neq 0 \Rightarrow x \neq -a$.

Общий знаменатель для всех дробей — $x^2-a^2 = (x-a)(x+a)$. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель (при $x \neq \pm a$):
$(x+a)(x+a) + (x-a)(x-a) = a(3x+2a)$
$(x+a)^2 + (x-a)^2 = a(3x+2a)$

Раскроем скобки. Используем формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$(x^2 + 2ax + a^2) + (x^2 - 2ax + a^2) = 3ax + 2a^2$

Упростим левую часть:
$2x^2 + 2a^2 = 3ax + 2a^2$

Вычтем $2a^2$ из обеих частей:
$2x^2 = 3ax$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$2x^2 - 3ax = 0$
$x(2x - 3a) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $2x - 3a = 0 \Rightarrow 2x = 3a \Rightarrow x = \frac{3a}{2}$

Проверим корни. Если $a \neq 0$, то $x_1=0$ и $x_2=\frac{3a}{2}$ не совпадают с $\pm a$ и являются решениями. Если $a=0$, то ОДЗ $x \neq 0$, а уравнение принимает вид $1+1=0$, что неверно, следовательно, решений нет.

Ответ: при $a \neq 0$ $x_1 = 0, x_2 = \frac{3a}{2}$; при $a=0$ решений нет.