Номер 2.59, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.7. Системы рациональных уравнений. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.59, страница 74.

2.59* а) $ \begin{cases} 9x^2 - 10xy + 4y^2 = 3 \\ 2xy - 3x + 2y = 1; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 4x^2 - 7xy + y^2 = 3 \\ xy + 4x - 2y = 8; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x^2 - 3xy + 2y^2 = 0 \\ x^2 + x + y = -\frac{5}{9}; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x^2 + 2xy - 3y^2 = 0 \\ y^2 + x + y = \frac{5}{4}; \end{cases} $

д) $ \begin{cases} x + y = 5 \\ x^3 + y^3 = 35; \end{cases} $

е) $ \begin{cases} x - y = 3 \\ x^3 - y^3 = 117; \end{cases} $

ж) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ x^3 + y^3 = -1; \end{cases} $

з) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ x^3 + y^3 = 8. \end{cases} $

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 9x^2 - 10xy + 4y^2 = 3 \\ 2xy - 3x + 2y = 1 \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение, выделив полный квадрат: $9x^2 - 12xy + 4y^2 + 2xy = 3$ $(3x - 2y)^2 + 2xy = 3$

Из второго уравнения выразим $2xy$: $2xy = 1 + 3x - 2y$

Подставим выражение для $2xy$ в преобразованное первое уравнение: $(3x - 2y)^2 + (1 + 3x - 2y) = 3$

Сделаем замену $u = 3x - 2y$. Уравнение примет вид: $u^2 + 1 + u = 3$ $u^2 + u - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $u$. Корни можно найти по теореме Виета: $u_1 = 1$, $u_2 = -2$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $u = 1$, то есть $3x - 2y = 1$. Подставим это в выражение для $2xy$: $2xy = 1 + (3x - 2y) = 1 + 1 = 2$, откуда $xy = 1$. Получаем систему: $ \begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ xy = 1 \end{cases} $ Из второго уравнения $y = 1/x$. Подставляем в первое: $3x - 2/x = 1$ $3x^2 - x - 2 = 0$ Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$. $x = \frac{1 \pm 5}{6}$. $x_1 = 1$, тогда $y_1 = 1/1 = 1$. $x_2 = -4/6 = -2/3$, тогда $y_2 = 1/(-2/3) = -3/2$. Получены решения: $(1, 1)$ и $(-2/3, -3/2)$.

Случай 2: $u = -2$, то есть $3x - 2y = -2$. Подставим это в выражение для $2xy$: $2xy = 1 + (3x - 2y) = 1 - 2 = -1$, откуда $xy = -1/2$. Получаем систему: $ \begin{cases} 3x - 2y = -2 \\ xy = -1/2 \end{cases} $ Из второго уравнения $y = -1/(2x)$. Подставляем в первое: $3x - 2(-1/(2x)) = -2$ $3x + 1/x = -2$ $3x^2 + 2x + 1 = 0$ Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8 < 0$. В этом случае действительных решений нет.

Ответ: $(1, 1)$, $(-2/3, -3/2)$.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 4x^2 - 7xy + y^2 = 3 \\ xy + 4x - 2y = 8 \end{cases} $

Рассмотрим второе уравнение и попробуем его разложить на множители: $xy + 4x - 2y - 8 = 0$ $x(y+4) - 2(y+4) = 0$ $(x-2)(y+4) = 0$

Это равенство выполняется, если $x-2=0$ или $y+4=0$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $x - 2 = 0$, то есть $x = 2$. Подставим $x=2$ в первое уравнение системы: $4(2)^2 - 7(2)y + y^2 = 3$ $16 - 14y + y^2 = 3$ $y^2 - 14y + 13 = 0$ По теореме Виета, корни $y_1 = 1$, $y_2 = 13$. Получаем два решения: $(2, 1)$ и $(2, 13)$.

Случай 2: $y + 4 = 0$, то есть $y = -4$. Подставим $y=-4$ в первое уравнение системы: $4x^2 - 7x(-4) + (-4)^2 = 3$ $4x^2 + 28x + 16 = 3$ $4x^2 + 28x + 13 = 0$ Дискриминант $D = 28^2 - 4 \cdot 4 \cdot 13 = 784 - 208 = 576 = 24^2$. $x = \frac{-28 \pm 24}{8}$. $x_3 = \frac{-28+24}{8} = -4/8 = -1/2$. $x_4 = \frac{-28-24}{8} = -52/8 = -13/2$. Получаем еще два решения: $(-1/2, -4)$ и $(-13/2, -4)$.

Ответ: $(2, 1)$, $(2, 13)$, $(-1/2, -4)$, $(-13/2, -4)$.

в)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - 3xy + 2y^2 = 0 \\ x^2 + x + y = -5/9 \end{cases} $

Первое уравнение является однородным. Разложим его на множители как квадратное уравнение относительно $x$: $(x-y)(x-2y) = 0$. Отсюда следует, что $x=y$ или $x=2y$.

Случай 1: $x=y$. Подставим во второе уравнение: $y^2 + y + y = -5/9$ $y^2 + 2y + 5/9 = 0$ $9y^2 + 18y + 5 = 0$ $D = 18^2 - 4 \cdot 9 \cdot 5 = 324 - 180 = 144 = 12^2$. $y = \frac{-18 \pm 12}{18}$. $y_1 = -6/18 = -1/3$, тогда $x_1 = -1/3$. $y_2 = -30/18 = -5/3$, тогда $x_2 = -5/3$. Решения: $(-1/3, -1/3)$ и $(-5/3, -5/3)$.

Случай 2: $x=2y$. Подставим во второе уравнение: $(2y)^2 + 2y + y = -5/9$ $4y^2 + 3y + 5/9 = 0$ $36y^2 + 27y + 5 = 0$ $D = 27^2 - 4 \cdot 36 \cdot 5 = 729 - 720 = 9 = 3^2$. $y = \frac{-27 \pm 3}{72}$. $y_3 = -24/72 = -1/3$, тогда $x_3 = 2(-1/3) = -2/3$. $y_4 = -30/72 = -5/12$, тогда $x_4 = 2(-5/12) = -5/6$. Решения: $(-2/3, -1/3)$ и $(-5/6, -5/12)$.

Ответ: $(-1/3, -1/3)$, $(-5/3, -5/3)$, $(-2/3, -1/3)$, $(-5/6, -5/12)$.

г)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + 2xy - 3y^2 = 0 \\ y^2 + x + y = -5/4 \end{cases} $

Первое уравнение является однородным. Разложим его на множители: $(x-y)(x+3y) = 0$. Отсюда $x=y$ или $x=-3y$.

Случай 1: $x=y$. Подставим во второе уравнение: $y^2 + y + y = -5/4$ $y^2 + 2y + 5/4 = 0$ $4y^2 + 8y + 5 = 0$ Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 64 - 80 = -16 < 0$. Действительных решений в этом случае нет.

Случай 2: $x=-3y$. Подставим во второе уравнение: $y^2 - 3y + y = -5/4$ $y^2 - 2y + 5/4 = 0$ $4y^2 - 8y + 5 = 0$ Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 64 - 80 = -16 < 0$. Действительных решений в этом случае также нет.

Ответ: Нет действительных решений.

д)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 5 \\ x^3 + y^3 = 35 \end{cases} $

Используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$. Подставим известные значения: $35 = 5(x^2 - xy + y^2)$ $x^2 - xy + y^2 = 7$

Также из первого уравнения $(x+y)^2 = 5^2$, то есть $x^2 + 2xy + y^2 = 25$. Получим систему: $ \begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 = 25 \\ x^2 - xy + y^2 = 7 \end{cases} $ Вычтем из первого уравнения второе: $(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - xy + y^2) = 25 - 7$ $3xy = 18 \implies xy = 6$.

Теперь решаем систему: $ \begin{cases} x+y=5 \\ xy=6 \end{cases} $ По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. Корни этого уравнения $t_1=2, t_2=3$.

Ответ: $(2, 3)$, $(3, 2)$.

е)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - y = 3 \\ x^3 - y^3 = 117 \end{cases} $

Используем формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$. Подставим известные значения: $117 = 3(x^2 + xy + y^2)$ $x^2 + xy + y^2 = 39$

Из первого уравнения $(x-y)^2 = 3^2$, то есть $x^2 - 2xy + y^2 = 9$. Получим систему: $ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 39 \\ x^2 - 2xy + y^2 = 9 \end{cases} $ Вычтем из первого уравнения второе: $(x^2 + xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 39 - 9$ $3xy = 30 \implies xy = 10$.

Теперь решаем систему: $ \begin{cases} x-y=3 \\ xy=10 \end{cases} $ Из первого уравнения $x = y+3$. Подставляем во второе: $(y+3)y = 10$ $y^2 + 3y - 10 = 0$ Корни этого уравнения $y_1=2, y_2=-5$. Если $y_1=2$, то $x_1 = 2+3=5$. Если $y_2=-5$, то $x_2 = -5+3=-2$.

Ответ: $(5, 2)$, $(-2, -5)$.

ж)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ x^3 + y^3 = -1 \end{cases} $

Это симметрическая система. Введем замены: $s = x+y$, $p = xy$. $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = s^2 - 2p = 1$. $x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = s^3 - 3sp = -1$.

Из первого уравнения $p = \frac{s^2-1}{2}$. Подставим во второе: $s^3 - 3s \left(\frac{s^2-1}{2}\right) = -1$ $2s^3 - 3s(s^2-1) = -2$ $2s^3 - 3s^3 + 3s = -2$ $-s^3 + 3s + 2 = 0 \implies s^3 - 3s - 2 = 0$.

Подбором находим корень $s=-1$. Разделим многочлен $s^3 - 3s - 2$ на $(s+1)$: $(s+1)(s^2-s-2) = 0$. Разложим квадратный трехчлен: $s^2-s-2 = (s-2)(s+1)$. Получаем $(s+1)^2(s-2)=0$, откуда $s=-1$ или $s=2$.

Случай 1: $s = -1$. $p = \frac{(-1)^2-1}{2} = 0$. Система $x+y=-1$, $xy=0$ дает решения $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.

Случай 2: $s = 2$. $p = \frac{2^2-1}{2} = 3/2$. $x$ и $y$ - корни уравнения $t^2 - 2t + 3/2 = 0 \implies 2t^2 - 4t + 3 = 0$. $D = 16 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = -8 < 0$. Действительных решений нет.

Ответ: $(-1, 0)$, $(0, -1)$.

з)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ x^3 + y^3 = 8 \end{cases} $

Это симметрическая система. Введем замены: $s = x+y$, $p = xy$. $x^2+y^2 = s^2 - 2p = 4$. $x^3+y^3 = s^3 - 3sp = 8$.

Из первого уравнения $p = \frac{s^2-4}{2}$. Подставим во второе: $s^3 - 3s \left(\frac{s^2-4}{2}\right) = 8$ $2s^3 - 3s(s^2-4) = 16$ $2s^3 - 3s^3 + 12s = 16$ $-s^3 + 12s - 16 = 0 \implies s^3 - 12s + 16 = 0$.

Подбором находим корень $s=2$. Разделим многочлен $s^3 - 12s + 16$ на $(s-2)$: $(s-2)(s^2+2s-8) = 0$. Разложим квадратный трехчлен: $s^2+2s-8 = (s+4)(s-2)$. Получаем $(s-2)^2(s+4)=0$, откуда $s=2$ или $s=-4$.

Случай 1: $s = 2$. $p = \frac{2^2-4}{2} = 0$. Система $x+y=2$, $xy=0$ дает решения $(2, 0)$ и $(0, 2)$.

Случай 2: $s = -4$. $p = \frac{(-4)^2-4}{2} = \frac{12}{2} = 6$. $x$ и $y$ - корни уравнения $t^2 - (-4)t + 6 = 0 \implies t^2 + 4t + 6 = 0$. $D = 16 - 4 \cdot 6 = -8 < 0$. Действительных решений нет.

Ответ: $(2, 0)$, $(0, 2)$.