Номер 2.65, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.8. Метод интервалов решения неравенств. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.65, страница 78.

2.65 Найдите все числа $x$, для каждого из которых

$(x - 1)(x - 3)(x - 5) = 0.$

Изобразите эти числа на координатной оси. Определите знак произведения $(x - 1)(x - 3)(x - 5)$ на каждом из полученных интервалов. Укажите все значения $x$, для которых:

а) $(x - 1)(x - 3)(x - 5) > 0;$

б) $(x - 1)(x - 3)(x - 5) < 0.$

Сначала найдем все числа $x$, для которых произведение равно нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
2) $x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$
3) $x - 5 = 0 \implies x_3 = 5$

Корни уравнения: 1, 3, 5. Эти числа делят координатную ось на четыре промежутка: $(-\infty; 1)$, $(1; 3)$, $(3; 5)$ и $(5; +\infty)$.

Для определения знака произведения $(x - 1)(x - 3)(x - 5)$ на каждом из интервалов воспользуемся методом интервалов. Для этого выберем по одной пробной точке из каждого интервала и подставим в выражение:

• Интервал $(5; +\infty)$. Возьмем $x = 6$: $(6 - 1)(6 - 3)(6 - 5) = 5 \cdot 3 \cdot 1 = 15$. Знак «+».
• Интервал $(3; 5)$. Возьмем $x = 4$: $(4 - 1)(4 - 3)(4 - 5) = 3 \cdot 1 \cdot (-1) = -3$. Знак «-».
• Интервал $(1; 3)$. Возьмем $x = 2$: $(2 - 1)(2 - 3)(2 - 5) = 1 \cdot (-1) \cdot (-3) = 3$. Знак «+».
• Интервал $(-\infty; 1)$. Возьмем $x = 0$: $(0 - 1)(0 - 3)(0 - 5) = (-1) \cdot (-3) \cdot (-5) = -15$. Знак «-».

Изобразим найденные числа и знаки на координатной оси:

Теперь укажем все значения $x$, для которых выполняются неравенства.

а) $(x - 1)(x - 3)(x - 5) > 0;$

Неравенство верно на тех интервалах, где произведение положительно (отмечено знаком «+»). Это интервалы $(1; 3)$ и $(5; +\infty)$. Объединяя их, получаем решение.
Ответ: $x \in (1; 3) \cup (5; +\infty)$.

б) $(x - 1)(x - 3)(x - 5) < 0.$

Неравенство верно на тех интервалах, где произведение отрицательно (отмечено знаком «-»). Это интервалы $(-\infty; 1)$ и $(3; 5)$. Объединяя их, получаем решение.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; 5)$.