Номер 2.68, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.8. Метод интервалов решения неравенств. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.68, страница 78.

2.68 Решите неравенство:

а) $(x + 2)(3 - x)(x + 1) > 0;$

б) $(x + 3)(2 - x)(x + 2) < 0;$

в) $(x - 1)(9 - x^2) < 0;$

г) $(x - 3)(4 - x^2) > 0;$

д) $(1 - x)(2 - x)(3 - x) > 0;$

е) $(1 + x)(3 + x)(5 + x) < 0.$

а) Решим неравенство $(x+2)(3-x)(x+1) > 0$ методом интервалов.
Сначала приведем его к стандартному виду, чтобы коэффициенты при $x$ были положительными. Вынесем $-1$ из скобки $(3-x)$:
$(x+2)(-(x-3))(x+1) > 0$
$-(x+2)(x-3)(x+1) > 0$
Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства:
$(x+2)(x-3)(x+1) < 0$
Найдем нули (корни) левой части, приравняв ее к нулю:
$x+2=0 \implies x_1 = -2$
$x-3=0 \implies x_2 = 3$
$x+1=0 \implies x_3 = -1$
Отметим точки $-2, -1, 3$ на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала. Определим знак выражения на каждом интервале. На крайнем правом интервале (при $x > 3$) все множители положительны, значит, их произведение положительно. Далее знаки чередуются, так как все корни имеют кратность 1.
Интервалы и знаки: $(-\infty; -2): -$; $(-2; -1): +$; $(-1; 3): -$; $(3; +\infty): +$.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля, то есть где стоит знак "минус".
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-1; 3)$.

б) Решим неравенство $(x+3)(2-x)(x+2) < 0$.
Приведем к стандартному виду, вынеся $-1$ из скобки $(2-x)$:
$(x+3)(-(x-2))(x+2) < 0$
$-(x+3)(x-2)(x+2) < 0$
Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства:
$(x+3)(x-2)(x+2) > 0$
Найдем нули левой части:
$x+3=0 \implies x_1 = -3$
$x-2=0 \implies x_2 = 2$
$x+2=0 \implies x_3 = -2$
Отметим точки $-3, -2, 2$ на числовой оси. Определим знаки на интервалах. При $x > 2$ выражение положительно. Далее знаки чередуются.
Интервалы и знаки: $(-\infty; -3): -$; $(-3; -2): +$; $(-2; 2): -$; $(2; +\infty): +$.
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля, то есть где стоит знак "плюс".
Ответ: $x \in (-3; -2) \cup (2; \infty)$.

в) Решим неравенство $(x-1)(9-x^2) < 0$.
Разложим $9-x^2$ на множители по формуле разности квадратов: $9-x^2 = (3-x)(3+x)$.
$(x-1)(3-x)(3+x) < 0$
Приведем к стандартному виду, вынеся $-1$ из скобки $(3-x)$:
$(x-1)(-(x-3))(x+3) < 0$
$-(x-1)(x-3)(x+3) < 0$
Умножим на $-1$ и изменим знак неравенства:
$(x-1)(x-3)(x+3) > 0$
Нули левой части: $x_1 = 1, x_2 = 3, x_3 = -3$.
Отметим точки $-3, 1, 3$ на числовой оси. При $x > 3$ выражение положительно. Далее знаки чередуются.
Интервалы и знаки: $(-\infty; -3): -$; $(-3; 1): +$; $(1; 3): -$; $(3; +\infty): +$.
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля.
Ответ: $x \in (-3; 1) \cup (3; \infty)$.

г) Решим неравенство $(x-3)(4-x^2) > 0$.
Разложим $4-x^2$ на множители: $4-x^2 = (2-x)(2+x)$.
$(x-3)(2-x)(2+x) > 0$
Вынесем $-1$ из скобки $(2-x)$:
$(x-3)(-(x-2))(x+2) > 0$
$-(x-3)(x-2)(x+2) > 0$
Умножим на $-1$ и изменим знак неравенства:
$(x-3)(x-2)(x+2) < 0$
Нули левой части: $x_1 = 3, x_2 = 2, x_3 = -2$.
Отметим точки $-2, 2, 3$ на числовой оси. При $x > 3$ выражение положительно. Далее знаки чередуются.
Интервалы и знаки: $(-\infty; -2): -$; $(-2; 2): +$; $(2; 3): -$; $(3; +\infty): +$.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; 3)$.

д) Решим неравенство $(1-x)(2-x)(3-x) > 0$.
Вынесем $-1$ из каждой скобки:
$(-(x-1))(-(x-2))(-(x-3)) > 0$
$(-1)^3(x-1)(x-2)(x-3) > 0$
$-(x-1)(x-2)(x-3) > 0$
Умножим на $-1$ и изменим знак неравенства:
$(x-1)(x-2)(x-3) < 0$
Нули левой части: $x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3$.
Отметим точки $1, 2, 3$ на числовой оси. При $x > 3$ выражение положительно. Далее знаки чередуются.
Интервалы и знаки: $(-\infty; 1): -$; $(1; 2): +$; $(2; 3): -$; $(3; +\infty): +$.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; 3)$.

е) Решим неравенство $(1+x)(3+x)(5+x) < 0$.
Неравенство уже в стандартном виде: $(x+1)(x+3)(x+5) < 0$.
Найдем нули левой части:
$x+1=0 \implies x_1 = -1$
$x+3=0 \implies x_2 = -3$
$x+5=0 \implies x_3 = -5$
Отметим точки $-5, -3, -1$ на числовой оси. При $x > -1$ выражение положительно. Далее знаки чередуются.
Интервалы и знаки: $(-\infty; -5): -$; $(-5; -3): +$; $(-3; -1): -$; $(-1; +\infty): +$.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-3; -1)$.