Номер 2.74, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.9. Рациональные неравенства. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.74, страница 83.

2.74 Изобразите на координатной оси все числа, обращающие числитель и знаменатель дроби $ \frac{x-1}{x-2} $ в нуль. Определите знак дроби на каждом из полученных интервалов. Укажите все числа $x$, для каждого из которых:

а) $ \frac{x-1}{x-2} > 0 $;

б) $ \frac{x-1}{x-2} < 0 $.

Данную задачу решают методом интервалов. Сначала найдем числа, которые обращают числитель и знаменатель дроби $\frac{x-1}{x-2}$ в ноль.

1. Приравняем числитель к нулю:
$x - 1 = 0$
$x = 1$

2. Приравняем знаменатель к нулю:
$x - 2 = 0$
$x = 2$
Это значение $x$ является недопустимым, так как на ноль делить нельзя.

Теперь изобразим эти числа на координатной оси. Точку $x=1$ отметим как закрашенную (корень числителя), а точку $x=2$ — как выколотую (корень знаменателя). Эти точки разбивают координатную ось на три интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Определим знак дроби на каждом из этих интервалов, подставив в выражение $\frac{x-1}{x-2}$ любое число из соответствующего интервала.

• Для интервала $(-\infty; 1)$ возьмем $x=0$:
  $\frac{0 - 1}{0 - 2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$
  Значение положительное, значит, на этом интервале ставим знак «+».

• Для интервала $(1; 2)$ возьмем $x=1.5$:
  $\frac{1.5 - 1}{1.5 - 2} = \frac{0.5}{-0.5} = -1$
  Значение отрицательное, значит, на этом интервале ставим знак «-».

• Для интервала $(2; +\infty)$ возьмем $x=3$:
  $\frac{3 - 1}{3 - 2} = \frac{2}{1} = 2$
  Значение положительное, значит, на этом интервале ставим знак «+».

Таким образом, мы получили следующую картину на координатной оси:
---(+)--- 1 ---(-)--- 2 ---(+)---> $x$

Теперь укажем решения для каждого из неравенств.

а) $\frac{x-1}{x-2} > 0$

Неравенство строгое, поэтому ищем интервалы со знаком «+». Концевые точки в решение не входят.
Из нашей схемы видно, что это интервалы $(-\infty; 1)$ и $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$

б) $\frac{x-1}{x-2} < 0$

Неравенство строгое, поэтому ищем интервал со знаком «-». Концевые точки в решение не входят.
Из нашей схемы видно, что это интервал $(1; 2)$.

Ответ: $x \in (1, 2)$