Номер 2.73, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 2. Рациональные уравнения и неравенства. 2.9. Рациональные неравенства - номер 2.73, страница 83.

Условие.

2.73° Какое неравенство называют рациональным неравенством с неизвестным $x$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Рациональным неравенством с неизвестным $x$ называют неравенство, в котором обе части (левая и правая) являются рациональными выражениями от переменной $x$. Рациональное выражение — это выражение, которое можно представить в виде дроби $\frac{P(x)}{Q(x)}$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены (полиномы), причём $Q(x)$ не является нулевым многочленом.

Таким образом, это неравенства вида $f(x) > g(x)$, $f(x) < g(x)$, $f(x) \ge g(x)$ или $f(x) \le g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ — рациональные выражения.

Любое рациональное неравенство можно путём тождественных преобразований (перенос всех членов в одну часть и приведение к общему знаменателю) свести к одному из следующих стандартных видов:
$ \frac{P(x)}{Q(x)} > 0 $
$ \frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0 $
$ \frac{P(x)}{Q(x)} < 0 $
$ \frac{P(x)}{Q(x)} \le 0 $
Здесь $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены от переменной $x$.

Ключевой особенностью, отличающей рациональные неравенства от более простого вида — целых рациональных (или полиномиальных) неравенств, — является то, что неизвестная переменная $x$ может находиться в знаменателе дроби.

Например, следующие неравенства являются рациональными: $ \frac{x-5}{x+2} < 0 $; $ x + \frac{1}{x} \ge 2 $; $ \frac{x^2-1}{3x+4} \le x-1 $.

Ответ: Рациональным неравенством с неизвестным $x$ называют неравенство, которое можно привести к виду $\frac{P(x)}{Q(x)} > 0$ (или со знаками $<, \ge, \le$), где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены от переменной $x$, и $Q(x)$ не является тождественно равным нулю многочленом.