Страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.73° Какое неравенство называют рациональным неравенством с неизвестным $x$?

Рациональным неравенством с неизвестным $x$ называют неравенство, в котором обе части (левая и правая) являются рациональными выражениями от переменной $x$. Рациональное выражение — это выражение, которое можно представить в виде дроби $\frac{P(x)}{Q(x)}$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены (полиномы), причём $Q(x)$ не является нулевым многочленом.

Таким образом, это неравенства вида $f(x) > g(x)$, $f(x) < g(x)$, $f(x) \ge g(x)$ или $f(x) \le g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ — рациональные выражения.

Любое рациональное неравенство можно путём тождественных преобразований (перенос всех членов в одну часть и приведение к общему знаменателю) свести к одному из следующих стандартных видов:
$ \frac{P(x)}{Q(x)} > 0 $
$ \frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0 $
$ \frac{P(x)}{Q(x)} < 0 $
$ \frac{P(x)}{Q(x)} \le 0 $
Здесь $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены от переменной $x$.

Ключевой особенностью, отличающей рациональные неравенства от более простого вида — целых рациональных (или полиномиальных) неравенств, — является то, что неизвестная переменная $x$ может находиться в знаменателе дроби.

Например, следующие неравенства являются рациональными: $ \frac{x-5}{x+2} < 0 $; $ x + \frac{1}{x} \ge 2 $; $ \frac{x^2-1}{3x+4} \le x-1 $.

Ответ: Рациональным неравенством с неизвестным $x$ называют неравенство, которое можно привести к виду $\frac{P(x)}{Q(x)} > 0$ (или со знаками $<, \ge, \le$), где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены от переменной $x$, и $Q(x)$ не является тождественно равным нулю многочленом.

2.74 Изобразите на координатной оси все числа, обращающие числитель и знаменатель дроби $ \frac{x-1}{x-2} $ в нуль. Определите знак дроби на каждом из полученных интервалов. Укажите все числа $x$, для каждого из которых:

а) $ \frac{x-1}{x-2} > 0 $;

б) $ \frac{x-1}{x-2} < 0 $.

Данную задачу решают методом интервалов. Сначала найдем числа, которые обращают числитель и знаменатель дроби $\frac{x-1}{x-2}$ в ноль.

1. Приравняем числитель к нулю:
$x - 1 = 0$
$x = 1$

2. Приравняем знаменатель к нулю:
$x - 2 = 0$
$x = 2$
Это значение $x$ является недопустимым, так как на ноль делить нельзя.

Теперь изобразим эти числа на координатной оси. Точку $x=1$ отметим как закрашенную (корень числителя), а точку $x=2$ — как выколотую (корень знаменателя). Эти точки разбивают координатную ось на три интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Определим знак дроби на каждом из этих интервалов, подставив в выражение $\frac{x-1}{x-2}$ любое число из соответствующего интервала.

• Для интервала $(-\infty; 1)$ возьмем $x=0$:
  $\frac{0 - 1}{0 - 2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$
  Значение положительное, значит, на этом интервале ставим знак «+».

• Для интервала $(1; 2)$ возьмем $x=1.5$:
  $\frac{1.5 - 1}{1.5 - 2} = \frac{0.5}{-0.5} = -1$
  Значение отрицательное, значит, на этом интервале ставим знак «-».

• Для интервала $(2; +\infty)$ возьмем $x=3$:
  $\frac{3 - 1}{3 - 2} = \frac{2}{1} = 2$
  Значение положительное, значит, на этом интервале ставим знак «+».

Таким образом, мы получили следующую картину на координатной оси:
---(+)--- 1 ---(-)--- 2 ---(+)---> $x$

Теперь укажем решения для каждого из неравенств.

а) $\frac{x-1}{x-2} > 0$

Неравенство строгое, поэтому ищем интервалы со знаком «+». Концевые точки в решение не входят.
Из нашей схемы видно, что это интервалы $(-\infty; 1)$ и $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$

б) $\frac{x-1}{x-2} < 0$

Неравенство строгое, поэтому ищем интервал со знаком «-». Концевые точки в решение не входят.
Из нашей схемы видно, что это интервал $(1; 2)$.

Ответ: $x \in (1, 2)$

2.75 Решите с помощью метода интервалов неравенство:

а) $\frac{(x - 3)(x - 4)}{x - 5} > 0;$

б) $\frac{(x + 3)(x + 4)}{x + 5} < 0;$

в) $\frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 3} < 0;$

г) $\frac{(x - 0)(x - 3)}{x + 4} > 0;$

д) $\frac{x}{(x - 3)(x + 4)} > 0;$

е) $\frac{x}{(x + 1)(x - 8)} < 0.$

а) $ \frac{(x - 3)(x - 4)}{x - 5} > 0 $

Для решения неравенства методом интервалов, найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $ (x - 3)(x - 4) = 0 $, откуда $ x_1 = 3, x_2 = 4 $.

Нуль знаменателя: $ x - 5 = 0 $, откуда $ x_3 = 5 $.

Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое (знак >), все точки будут выколотыми.

- + - +

-----o(3)-----o(4)-----o(5)-----> x

Определим знаки выражения в каждом из полученных интервалов. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x = 6$:

$ \frac{(6 - 3)(6 - 4)}{6 - 5} = \frac{3 \cdot 2}{1} = 6 > 0 $. Значит, в интервале $ (5; +\infty) $ выражение положительно.

Поскольку все множители в первой степени, знаки в интервалах чередуются.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $ x \in (3; 4) \cup (5; +\infty) $

б) $ \frac{(x + 3)(x + 4)}{x + 5} < 0 $

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $ (x + 3)(x + 4) = 0 $, откуда $ x_1 = -3, x_2 = -4 $.

Нуль знаменателя: $ x + 5 = 0 $, откуда $ x_3 = -5 $.

Отметим точки -5, -4, -3 на числовой оси. Все точки выколотые, так как неравенство строгое.

- + - +

-----o(-5)-----o(-4)-----o(-3)-----> x

Определим знак в крайнем правом интервале, взяв $x = 0$:

$ \frac{(0 + 3)(0 + 4)}{0 + 5} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} > 0 $. Значит, в интервале $ (-3; +\infty) $ выражение положительно. Знаки в остальных интервалах чередуются.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-").

Ответ: $ x \in (-\infty; -5) \cup (-4; -3) $

в) $ \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 3} < 0 $

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $ (x + 1)(x - 1) = 0 $, откуда $ x_1 = -1, x_2 = 1 $.

Нуль знаменателя: $ x - 3 = 0 $, откуда $ x_3 = 3 $.

Отметим точки -1, 1, 3 на числовой оси. Все точки выколотые (неравенство строгое).

- + - +

-----o(-1)-----o(1)-----o(3)-----> x

Определим знак в крайнем правом интервале, взяв $x = 4$:

$ \frac{(4 + 1)(4 - 1)}{4 - 3} = \frac{5 \cdot 3}{1} = 15 > 0 $. Значит, в интервале $ (3; +\infty) $ выражение положительно. Знаки чередуются.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-").

Ответ: $ x \in (-\infty; -1) \cup (1; 3) $

г) $ \frac{(x - 0)(x - 3)}{x + 4} > 0 $, что то же самое, что $ \frac{x(x - 3)}{x + 4} > 0 $

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $ x(x - 3) = 0 $, откуда $ x_1 = 0, x_2 = 3 $.

Нуль знаменателя: $ x + 4 = 0 $, откуда $ x_3 = -4 $.

Отметим точки -4, 0, 3 на числовой оси. Все точки выколотые.

- + - +

-----o(-4)-----o(0)-----o(3)-----> x

Определим знак в крайнем правом интервале, взяв $x = 4$:

$ \frac{4(4 - 3)}{4 + 4} = \frac{4 \cdot 1}{8} = 0.5 > 0 $. Значит, в интервале $ (3; +\infty) $ выражение положительно. Знаки чередуются.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $ x \in (-4; 0) \cup (3; +\infty) $

д) $ \frac{x}{(x - 3)(x + 4)} > 0 $

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $ x = 0 $.

Нули знаменателя: $ (x - 3)(x + 4) = 0 $, откуда $ x_1 = 3, x_2 = -4 $.

Отметим точки -4, 0, 3 на числовой оси. Все точки выколотые.

- + - +

-----o(-4)-----o(0)-----o(3)-----> x

Определим знак в крайнем правом интервале, взяв $x = 4$:

$ \frac{4}{(4 - 3)(4 + 4)} = \frac{4}{1 \cdot 8} = 0.5 > 0 $. Значит, в интервале $ (3; +\infty) $ выражение положительно. Знаки чередуются.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $ x \in (-4; 0) \cup (3; +\infty) $

е) $ \frac{x}{(x + 1)(x - 8)} < 0 $

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $ x = 0 $.

Нули знаменателя: $ (x + 1)(x - 8) = 0 $, откуда $ x_1 = -1, x_2 = 8 $.

Отметим точки -1, 0, 8 на числовой оси. Все точки выколотые.

- + - +

-----o(-1)-----o(0)-----o(8)-----> x

Определим знак в крайнем правом интервале, взяв $x = 9$:

$ \frac{9}{(9 + 1)(9 - 8)} = \frac{9}{10 \cdot 1} = 0.9 > 0 $. Значит, в интервале $ (8; +\infty) $ выражение положительно. Знаки чередуются.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-").

Ответ: $ x \in (-\infty; -1) \cup (0; 8) $

Решите неравенство (2.76—2.79):

2.76 а) $\frac{3}{x-1} > x+1;$

б) $\frac{5}{x+2} < x-2;$

в) $\frac{2x-3}{x+1} > 1;$

г) $\frac{3x+2}{x-2} < 1;$

д) $\frac{x}{4x-3} < \frac{1}{x};$

е) $\frac{x-5}{3x-9} > \frac{2}{x}.$

а) $ \frac{3}{x-1} > x+1 $

Перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем:

$ \frac{3}{x-1} - (x+1) > 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю $x-1$:

$ \frac{3 - (x+1)(x-1)}{x-1} > 0 $

Раскроем скобки в числителе, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$ \frac{3 - (x^2 - 1)}{x-1} > 0 $

$ \frac{3 - x^2 + 1}{x-1} > 0 $

$ \frac{4 - x^2}{x-1} > 0 $

Разложим числитель на множители:

$ \frac{(2-x)(2+x)}{x-1} > 0 $

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя:

Нули числителя: $ 2-x=0 \implies x=2 $; $ 2+x=0 \implies x=-2 $.

Нуль знаменателя: $ x-1=0 \implies x=1 $ (точка выколота).

Нанесем точки -2, 1, 2 на числовую ось и определим знаки выражения на получившихся интервалах:

- Интервал $(2, +\infty)$: пусть $x=3$, $ \frac{(2-3)(2+3)}{3-1} = \frac{-5}{2} < 0 $.
- Интервал $(1, 2)$: пусть $x=1.5$, $ \frac{(2-1.5)(2+1.5)}{1.5-1} = \frac{1.75}{0.5} > 0 $.
- Интервал $(-2, 1)$: пусть $x=0$, $ \frac{(2-0)(2+0)}{0-1} = -4 < 0 $.
- Интервал $(-\infty, -2)$: пусть $x=-3$, $ \frac{(2-(-3))(2-3)}{-3-1} = \frac{5(-1)}{-4} > 0 $.

Выбираем интервалы, где выражение больше нуля.

Ответ: $ x \in (-\infty, -2) \cup (1, 2) $.

б) $ \frac{5}{x+2} < x-2 $

Перенесем все члены в левую часть:

$ \frac{5}{x+2} - (x-2) < 0 $

Приведем к общему знаменателю $x+2$:

$ \frac{5 - (x-2)(x+2)}{x+2} < 0 $

Упростим числитель:

$ \frac{5 - (x^2 - 4)}{x+2} < 0 $

$ \frac{5 - x^2 + 4}{x+2} < 0 $

$ \frac{9 - x^2}{x+2} < 0 $

Разложим числитель на множители:

$ \frac{(3-x)(3+x)}{x+2} < 0 $

Решаем методом интервалов. Корни числителя: $x=3, x=-3$. Корень знаменателя: $x=-2$.

Наносим точки -3, -2, 3 на числовую ось и определяем знаки:

- Интервал $(3, +\infty)$: пусть $x=4$, $ \frac{(3-4)(3+4)}{4+2} = \frac{-7}{6} < 0 $.
- Интервал $(-2, 3)$: пусть $x=0$, $ \frac{(3-0)(3+0)}{0+2} = \frac{9}{2} > 0 $.
- Интервал $(-3, -2)$: пусть $x=-2.5$, $ \frac{(3-(-2.5))(3-2.5)}{-2.5+2} = \frac{5.5 \cdot 0.5}{-0.5} < 0 $.
- Интервал $(-\infty, -3)$: пусть $x=-4$, $ \frac{(3-(-4))(3-4)}{-4+2} = \frac{7(-1)}{-2} > 0 $.

Выбираем интервалы, где выражение меньше нуля.

Ответ: $ x \in (-3, -2) \cup (3, \infty) $.

в) $ \frac{2x-3}{x+1} > 1 $

Перенесем 1 в левую часть:

$ \frac{2x-3}{x+1} - 1 > 0 $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{2x-3 - (x+1)}{x+1} > 0 $

$ \frac{2x-3-x-1}{x+1} > 0 $

$ \frac{x-4}{x+1} > 0 $

Решаем методом интервалов. Корень числителя: $x=4$. Корень знаменателя: $x=-1$.

Наносим точки -1, 4 на числовую ось и определяем знаки:

- Интервал $(4, +\infty)$: пусть $x=5$, $ \frac{5-4}{5+1} > 0 $.
- Интервал $(-1, 4)$: пусть $x=0$, $ \frac{0-4}{0+1} < 0 $.
- Интервал $(-\infty, -1)$: пусть $x=-2$, $ \frac{-2-4}{-2+1} > 0 $.

Выбираем интервалы, где выражение больше нуля.

Ответ: $ x \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty) $.

г) $ \frac{3x+2}{x-2} < 1 $

Перенесем 1 в левую часть:

$ \frac{3x+2}{x-2} - 1 < 0 $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{3x+2 - (x-2)}{x-2} < 0 $

$ \frac{3x+2-x+2}{x-2} < 0 $

$ \frac{2x+4}{x-2} < 0 $

$ \frac{2(x+2)}{x-2} < 0 $

Решаем методом интервалов. Корень числителя: $x=-2$. Корень знаменателя: $x=2$.

Наносим точки -2, 2 на числовую ось и определяем знаки:

- Интервал $(2, +\infty)$: пусть $x=3$, $ \frac{2(3+2)}{3-2} > 0 $.
- Интервал $(-2, 2)$: пусть $x=0$, $ \frac{2(0+2)}{0-2} < 0 $.
- Интервал $(-\infty, -2)$: пусть $x=-3$, $ \frac{2(-3+2)}{-3-2} > 0 $.

Выбираем интервал, где выражение меньше нуля.

Ответ: $ x \in (-2, 2) $.

д) $ \frac{x}{4x-3} < \frac{1}{x} $

Перенесем все в левую часть. Область допустимых значений: $x \neq 0, x \neq \frac{3}{4}$.

$ \frac{x}{4x-3} - \frac{1}{x} < 0 $

Приведем к общему знаменателю $x(4x-3)$:

$ \frac{x \cdot x - 1 \cdot (4x-3)}{x(4x-3)} < 0 $

$ \frac{x^2 - 4x + 3}{x(4x-3)} < 0 $

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ это $x_1=1, x_2=3$.

$ \frac{(x-1)(x-3)}{x(4x-3)} < 0 $

Решаем методом интервалов. Корни числителя: $x=1, x=3$. Корни знаменателя: $x=0, x=3/4$.

Наносим точки 0, 3/4, 1, 3 на числовую ось и определяем знаки:

- Интервал $(3, +\infty)$: $x=4$, $ \frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0 $.
- Интервал $(1, 3)$: $x=2$, $ \frac{(+)(-)}{(+)(+)} < 0 $.
- Интервал $(3/4, 1)$: $x=0.8$, $ \frac{(-)(-)}{(+)(+)} > 0 $.
- Интервал $(0, 3/4)$: $x=0.5$, $ \frac{(-)(-)}{(+)(-)} < 0 $.
- Интервал $(-\infty, 0)$: $x=-1$, $ \frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0 $.

Выбираем интервалы, где выражение меньше нуля.

Ответ: $ x \in (0, 3/4) \cup (1, 3) $.

е) $ \frac{x-5}{3x-9} > \frac{2}{x} $

Перенесем все в левую часть. ОДЗ: $x \neq 3, x \neq 0$.

$ \frac{x-5}{3(x-3)} - \frac{2}{x} > 0 $

Приведем к общему знаменателю $3x(x-3)$:

$ \frac{x(x-5) - 2 \cdot 3(x-3)}{3x(x-3)} > 0 $

$ \frac{x^2-5x - 6x+18}{3x(x-3)} > 0 $

$ \frac{x^2-11x+18}{3x(x-3)} > 0 $

Найдем корни числителя $x^2-11x+18=0$. По теореме Виета, корни $x_1=2, x_2=9$.

$ \frac{(x-2)(x-9)}{3x(x-3)} > 0 $

Решаем методом интервалов. Корни числителя: $x=2, x=9$. Корни знаменателя: $x=0, x=3$.

Наносим точки 0, 2, 3, 9 на числовую ось и определяем знаки:

- Интервал $(9, +\infty)$: $x=10$, $ \frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0 $.
- Интервал $(3, 9)$: $x=4$, $ \frac{(+)(-)}{(+)(+)} < 0 $.
- Интервал $(2, 3)$: $x=2.5$, $ \frac{(+)(-)}{(+)(-)} > 0 $.
- Интервал $(0, 2)$: $x=1$, $ \frac{(-)(-)}{(+)(-)} < 0 $.
- Интервал $(-\infty, 0)$: $x=-1$, $ \frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0 $.

Выбираем интервалы, где выражение больше нуля.

Ответ: $ x \in (-\infty, 0) \cup (2, 3) \cup (9, \infty) $.

2.77 a) $\frac{(x - 2)(x + 3)}{x^2 - 4} < 0;$

б) $\frac{x^2 - 9}{(x + 3)(x - 1)} > 0;$

В) $\frac{x^2 + 5x - 6}{(x - 1)(x + 3)} > 0;$

Г) $\frac{x^2 + 4x + 4}{(x + 1)(x - 3)} < 0;$

Д) $\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9} < 0;$

е) $\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 1} > 0.$

a) Решим неравенство $\frac{(x-2)(x+3)}{x^2-4} < 0$.

Сначала разложим знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$.

Неравенство примет вид: $\frac{(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+2)} < 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x^2-4 \neq 0$, что означает $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

На ОДЗ, где $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на множитель $(x-2)$. Получим более простое неравенство:

$\frac{x+3}{x+2} < 0$.

Решим его методом интервалов. Находим нули числителя и знаменателя: $x=-3$ и $x=-2$. Эти точки делят числовую ось на три интервала. Определим знак выражения на каждом из них:

• На интервале $(-\infty; -3)$, например при $x=-4$: $\frac{-4+3}{-4+2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} > 0$.

• На интервале $(-3; -2)$, например при $x=-2.5$: $\frac{-2.5+3}{-2.5+2} = \frac{0.5}{-0.5} = -1 < 0$.

• На интервале $(-2; +\infty)$, например при $x=0$: $\frac{0+3}{0+2} = \frac{3}{2} > 0$.

Неравенство выполняется на интервале $(-3; -2)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ, так как точки $2$ и $-2$ в него не входят.

Ответ: $x \in (-3; -2)$.

б) Решим неравенство $\frac{x^2-9}{(x+3)(x-1)} > 0$.

Разложим числитель на множители: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$.

Неравенство примет вид: $\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)(x-1)} > 0$.

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, т.е. $(x+3)(x-1) \neq 0$, откуда $x \neq -3$ и $x \neq 1$.

При $x \neq -3$ можно сократить дробь на $(x+3)$:

$\frac{x-3}{x-1} > 0$.

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=3$ и $x=1$. Определим знаки на интервалах:

• На интервале $(-\infty; 1)$: знак $(+)$.

• На интервале $(1; 3)$: знак $(-)$.

• На интервале $(3; +\infty)$: знак $(+)$.

Решением является объединение интервалов, где выражение положительно: $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ, а именно $x \neq -3$. Точка $-3$ принадлежит интервалу $(-\infty; 1)$, поэтому её необходимо исключить из решения.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 1) \cup (3; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{x^2+5x-6}{(x-1)(x+3)} > 0$.

Разложим числитель на множители. Корнями уравнения $x^2+5x-6=0$ являются $x_1=1$ и $x_2=-6$.

Следовательно, $x^2+5x-6 = (x-1)(x+6)$.

Неравенство примет вид: $\frac{(x-1)(x+6)}{(x-1)(x+3)} > 0$.

ОДЗ: $(x-1)(x+3) \neq 0$, откуда $x \neq 1$ и $x \neq -3$.

При $x \neq 1$ сократим дробь на $(x-1)$:

$\frac{x+6}{x+3} > 0$.

Методом интервалов находим нули: $x=-6$ и $x=-3$. Знаки на интервалах $(-\infty; -6)$, $(-6; -3)$, $(-3; +\infty)$ соответственно $(+)$, $(-)$, $(+)$.

Решение: $(-\infty; -6) \cup (-3; +\infty)$.

Учтем ОДЗ: $x \neq 1$. Точка $1$ принадлежит интервалу $(-3; +\infty)$, поэтому её необходимо исключить.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (-3; 1) \cup (1; +\infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{x^2+4x+4}{(x+1)(x-3)} < 0$.

Числитель является полным квадратом: $x^2+4x+4 = (x+2)^2$.

Неравенство примет вид: $\frac{(x+2)^2}{(x+1)(x-3)} < 0$.

ОДЗ: $(x+1)(x-3) \neq 0$, откуда $x \neq -1$ и $x \neq 3$.

Выражение в числителе $(x+2)^2$ всегда неотрицательно. Так как неравенство строгое ($<0$), то числитель не может быть равен нулю, то есть $(x+2)^2 \neq 0$, что означает $x \neq -2$. При $x \neq -2$ числитель всегда положителен. Чтобы вся дробь была отрицательной, знаменатель должен быть отрицательным:

$(x+1)(x-3) < 0$.

Корни этого квадратного трехчлена $x=-1$ и $x=3$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому отрицательные значения находятся между корнями.

Решением является интервал $x \in (-1; 3)$.

Это решение удовлетворяет всем условиям: $x \neq -1$, $x \neq 3$ и $x \neq -2$ (поскольку $-2$ не входит в интервал $(-1; 3)$).

Ответ: $x \in (-1; 3)$.

д) Решим неравенство $\frac{x^2-6x+9}{x^2-9} < 0$.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$x^2-6x+9 = (x-3)^2$

$x^2-9 = (x-3)(x+3)$

Неравенство примет вид: $\frac{(x-3)^2}{(x-3)(x+3)} < 0$.

ОДЗ: $x^2-9 \neq 0$, откуда $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

При $x \neq 3$ сократим дробь на $(x-3)$:

$\frac{x-3}{x+3} < 0$.

Методом интервалов (нули $x=3$ и $x=-3$) находим, что выражение отрицательно на интервале $(-3; 3)$.

Решение $x \in (-3; 3)$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (-3; 3)$.

е) Решим неравенство $\frac{x^2+2x+1}{x^2-1} > 0$.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$x^2+2x+1 = (x+1)^2$

$x^2-1 = (x-1)(x+1)$

Неравенство примет вид: $\frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)} > 0$.

ОДЗ: $x^2-1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

При $x \neq -1$ сократим дробь на $(x+1)$:

$\frac{x+1}{x-1} > 0$.

Методом интервалов (нули $x=-1$ и $x=1$) находим, что выражение положительно на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$.

Решение $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.