Страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.60° Определите знак выражения $x - 5$, если:

а) $x > 5$;

б) $x < 5$.

Чтобы определить знак выражения $x - 5$, мы должны проанализировать, будет ли результат вычитания положительным, отрицательным или нулем, исходя из заданных условий для $x$.

а)

По условию задано неравенство $x > 5$. Это означает, что $x$ — это любое число, которое больше 5.

Для того чтобы получить выражение $x - 5$, вычтем из обеих частей неравенства число 5. Согласно свойствам неравенств, при вычитании одного и того же числа из обеих частей, знак неравенства не меняется:

$x - 5 > 5 - 5$

Выполним вычисление в правой части неравенства:

$x - 5 > 0$

Полученное неравенство показывает, что значение выражения $x - 5$ всегда больше нуля. Следовательно, знак выражения положительный.

Ответ: положительный.

б)

По условию задано неравенство $x < 5$. Это означает, что $x$ — это любое число, которое меньше 5.

Аналогично предыдущему пункту, вычтем из обеих частей неравенства число 5, чтобы получить в левой части искомое выражение:

$x - 5 < 5 - 5$

Выполним вычисление в правой части неравенства:

$x - 5 < 0$

Полученное неравенство показывает, что значение выражения $x - 5$ всегда меньше нуля. Следовательно, знак выражения отрицательный.

Ответ: отрицательный.

2.61° Определите знак выражения $x - (-2)$, если:

а) $x > -2$;

б) $x < -2$.

Сначала упростим данное выражение. Вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению соответствующего положительного числа:

$x - (-2) = x + 2$

Теперь задача состоит в том, чтобы определить знак выражения $x + 2$ для каждого из случаев.

а)

По условию нам дано неравенство $x > -2$.

Чтобы определить знак выражения $x + 2$, мы можем преобразовать исходное неравенство. Согласно свойствам неравенств, мы можем прибавить одно и то же число к обеим его частям, при этом знак неравенства не изменится.

Прибавим число 2 к обеим частям неравенства:

$x + 2 > -2 + 2$

Выполнив сложение в правой части, получаем:

$x + 2 > 0$

Это означает, что значение выражения $x + 2$ (и, следовательно, исходного выражения $x - (-2)$) всегда будет больше нуля. Таким образом, знак выражения — положительный.

Ответ: знак выражения положительный.

б)

По условию нам дано неравенство $x < -2$.

Поступим аналогично предыдущему пункту. Прибавим число 2 к обеим частям неравенства $x < -2$:

$x + 2 < -2 + 2$

Выполнив сложение в правой части, получаем:

$x + 2 < 0$

Это означает, что значение выражения $x + 2$ (и, следовательно, исходного выражения $x - (-2)$) всегда будет меньше нуля. Таким образом, знак выражения — отрицательный.

Ответ: знак выражения отрицательный.

2.62° Определите знак выражения $x + 3$, если:

a) $x > -3$;

б) $x < -3$.

а)

Чтобы определить знак выражения $x + 3$, воспользуемся данным условием $x > -3$.

Это неравенство можно преобразовать, прибавив к обеим его частям число 3. Согласно свойствам числовых неравенств, знак неравенства при этом не изменится:

$x + 3 > -3 + 3$

Выполнив сложение в правой части, получаем:

$x + 3 > 0$

Неравенство $x + 3 > 0$ означает, что значение выражения $x + 3$ является положительным числом.

Ответ: знак выражения — положительный.

б)

Чтобы определить знак выражения $x + 3$, используем условие $x < -3$.

Преобразуем данное неравенство, прибавив к обеим его частям число 3. Знак неравенства при этом не изменится:

$x + 3 < -3 + 3$

Выполнив сложение в правой части, получаем:

$x + 3 < 0$

Неравенство $x + 3 < 0$ означает, что значение выражения $x + 3$ является отрицательным числом.

Ответ: знак выражения — отрицательный.

2.63° Если $1 < x < 3$, то какой знак имеет двучлен:
а) $x-1$;
б) $x-3$?

a)

Нам дано двойное неравенство $1 < x < 3$. Чтобы определить знак двучлена $x - 1$, нужно преобразовать данное неравенство так, чтобы в его средней части оказалось выражение $x - 1$. Для этого вычтем 1 из всех частей неравенства:

$1 - 1 < x - 1 < 3 - 1$

Выполнив вычитание, получим:

$0 < x - 1 < 2$

Из полученного неравенства видно, что значение выражения $x - 1$ больше 0 и меньше 2. Следовательно, двучлен $x - 1$ имеет положительный знак.

Ответ: Положительный.

б)

Используем то же исходное неравенство $1 < x < 3$. Чтобы определить знак двучлена $x - 3$, вычтем 3 из всех частей неравенства:

$1 - 3 < x - 3 < 3 - 3$

Выполнив вычитание, получим:

$-2 < x - 3 < 0$

Из этого неравенства следует, что значение выражения $x - 3$ больше -2 и меньше 0. Следовательно, двучлен $x - 3$ имеет отрицательный знак.

Ответ: Отрицательный.

2.64°

a) В чём заключается метод интервалов решения неравенств?

б) Какого вида неравенства решают этим методом?

а)

Метод интервалов (или метод промежутков) — это стандартный способ решения сложных неравенств, особенно рациональных. Его суть основана на свойстве непрерывной функции сохранять постоянный знак на каждом интервале, на которые числовая ось разбивается её нулями (точками, где функция равна нулю) и точками разрыва.

Алгоритм решения неравенства вида $f(x) > 0$ (или $<, \geq, \leq$) методом интервалов заключается в следующем:

1. Привести неравенство к виду $f(x) > 0$ (или $f(x) < 0$, $f(x) \geq 0$, $f(x) \leq 0$), перенеся все его члены в одну часть.
2. Найти область определения функции $f(x)$. Точки, не входящие в область определения (например, нули знаменателя для дробно-рациональной функции), являются точками разрыва.
3. Найти нули функции $f(x)$, то есть решить уравнение $f(x) = 0$.
4. Нанести на числовую ось нули функции и её точки разрыва. Эти точки разобьют ось на несколько интервалов. Точки разрыва всегда "выколотые", а нули функции "выколотые" для строгих неравенств ($>$ или $<$) и "закрашенные" для нестрогих ($\geq$ или $\leq$), если они входят в область определения.
5. Определить знак функции $f(x)$ на каждом из полученных интервалов. Для этого достаточно взять любую "пробную" точку из интервала и подставить её в выражение $f(x)$. Знак результата и будет знаком функции на всем этом интервале. Часто, если функция представлена в виде произведения или частного множителей вида $(x-a)^k$, знаки на интервалах чередуются, за исключением случаев, когда корень имеет чётную кратность (то есть множитель $(x-a)^k$ возведен в четную степень). При переходе через такой корень знак функции не меняется.
6. Выбрать интервалы, на которых знак функции соответствует знаку неравенства. Например, для неравенства $f(x) > 0$ выбирают интервалы со знаком «+». Объединение этих интервалов и будет решением неравенства.

Ответ: Метод интервалов заключается в нахождении нулей и точек разрыва функции, стоящей в одной из частей неравенства (при условии, что в другой части — ноль), нанесении этих точек на числовую ось и определении знака функции на каждом из получившихся интервалов для выбора тех, которые удовлетворяют исходному неравенству.

б)

Метод интервалов чаще всего применяется для решения рациональных неравенств. Это неравенства вида:
$P(x) > 0$ или $\frac{P(x)}{Q(x)} > 0$
(а также с другими знаками: $<, \geq, \leq$), где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены.

В частности, этим методом решают:

• Целые рациональные (многочленные) неравенства, когда левая часть является многочленом, разложенным на множители. Например:
  $(x-1)(x+3)(x-5) < 0$
• Квадратные неравенства (как частный случай многочленных):
  $ax^2 + bx + c \geq 0$
• Дробно-рациональные неравенства, когда левая часть представляет собой отношение двух многочленов. Например:
  $\frac{(x-2)(x+1)}{x-4} \leq 0$

Также метод интервалов можно применять для решения более сложных неравенств, включающих иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции, если их удаётся свести к анализу знака непрерывной функции $f(x)$. Главное условие — возможность найти все точки, в которых функция $f(x)$ обращается в ноль или терпит разрыв.

Ответ: Этим методом решают в основном рациональные неравенства (целые и дробно-рациональные), а также некоторые другие виды неравенств, которые можно свести к анализу знака функции на интервалах.

2.65 Найдите все числа $x$, для каждого из которых

$(x - 1)(x - 3)(x - 5) = 0.$

Изобразите эти числа на координатной оси. Определите знак произведения $(x - 1)(x - 3)(x - 5)$ на каждом из полученных интервалов. Укажите все значения $x$, для которых:

а) $(x - 1)(x - 3)(x - 5) > 0;$

б) $(x - 1)(x - 3)(x - 5) < 0.$

Сначала найдем все числа $x$, для которых произведение равно нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
2) $x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$
3) $x - 5 = 0 \implies x_3 = 5$

Корни уравнения: 1, 3, 5. Эти числа делят координатную ось на четыре промежутка: $(-\infty; 1)$, $(1; 3)$, $(3; 5)$ и $(5; +\infty)$.

Для определения знака произведения $(x - 1)(x - 3)(x - 5)$ на каждом из интервалов воспользуемся методом интервалов. Для этого выберем по одной пробной точке из каждого интервала и подставим в выражение:

• Интервал $(5; +\infty)$. Возьмем $x = 6$: $(6 - 1)(6 - 3)(6 - 5) = 5 \cdot 3 \cdot 1 = 15$. Знак «+».
• Интервал $(3; 5)$. Возьмем $x = 4$: $(4 - 1)(4 - 3)(4 - 5) = 3 \cdot 1 \cdot (-1) = -3$. Знак «-».
• Интервал $(1; 3)$. Возьмем $x = 2$: $(2 - 1)(2 - 3)(2 - 5) = 1 \cdot (-1) \cdot (-3) = 3$. Знак «+».
• Интервал $(-\infty; 1)$. Возьмем $x = 0$: $(0 - 1)(0 - 3)(0 - 5) = (-1) \cdot (-3) \cdot (-5) = -15$. Знак «-».

Изобразим найденные числа и знаки на координатной оси:

Теперь укажем все значения $x$, для которых выполняются неравенства.

а) $(x - 1)(x - 3)(x - 5) > 0;$

Неравенство верно на тех интервалах, где произведение положительно (отмечено знаком «+»). Это интервалы $(1; 3)$ и $(5; +\infty)$. Объединяя их, получаем решение.
Ответ: $x \in (1; 3) \cup (5; +\infty)$.

б) $(x - 1)(x - 3)(x - 5) < 0.$

Неравенство верно на тех интервалах, где произведение отрицательно (отмечено знаком «-»). Это интервалы $(-\infty; 1)$ и $(3; 5)$. Объединяя их, получаем решение.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; 5)$.

2.66 По плану предыдущего задания решите неравенство:

а) $(x - 1)(x - 4)(x - 9) > 0;$

б) $(x - (-1))(x - 3)(x - 5) < 0;$

в) $(x + 1)(x - 1)(x - 4) > 0;$

г) $(x + 4)(x + 2)(x - 0) < 0;$

д) $(x + 5)(x + 3)(x + 1) > 0;$

е) $(x + 4)(x + 3)x < 0.$

а)

Решим неравенство $(x - 1)(x - 4)(x - 9) > 0$ методом интервалов.

1. Найдём нули функции $f(x) = (x - 1)(x - 4)(x - 9)$. Для этого приравняем выражение к нулю:

$(x - 1)(x - 4)(x - 9) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$, $x_3 = 9$.

2. Отметим корни на числовой оси. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми. Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 4)$, $(4; 9)$ и $(9; +\infty)$.

3. Определим знак выражения на каждом интервале. В крайнем правом интервале $(9; +\infty)$ все множители положительны, поэтому произведение будет положительным. Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться.

Схема знаков (справа налево): $+, -, +, -$.

Таким образом, знаки на интервалах: $(-\infty; 1)$ - минус, $(1; 4)$ - плюс, $(4; 9)$ - минус, $(9; +\infty)$ - плюс.

4. Мы ищем значения $x$, при которых выражение больше нуля, то есть выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (1; 4) \cup (9; +\infty)$.

б)

Сначала упростим неравенство: $(x - (-1))(x - 3)(x - 5) < 0$ эквивалентно $(x + 1)(x - 3)(x - 5) < 0$.

Решим его методом интервалов.

1. Нули функции $f(x) = (x + 1)(x - 3)(x - 5)$: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$, $x_3 = 5$.

2. Отметим выколотые точки $-1$, $3$, $5$ на числовой оси. Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 3)$, $(3; 5)$ и $(5; +\infty)$.

3. Определим знаки. В крайнем правом интервале $(5; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются.

Схема знаков: $(-\infty; -1)$ - минус, $(-1; 3)$ - плюс, $(3; 5)$ - минус, $(5; +\infty)$ - плюс.

4. Мы ищем значения $x$, при которых выражение меньше нуля, то есть выбираем интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; 5)$.

в)

Решим неравенство $(x + 1)(x - 1)(x - 4) > 0$ методом интервалов.

1. Нули функции $f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 4)$: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$, $x_3 = 4$.

2. Отметим выколотые точки $-1$, $1$, $4$ на числовой оси. Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; 4)$ и $(4; +\infty)$.

3. Определим знаки. В крайнем правом интервале $(4; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются.

Схема знаков: $(-\infty; -1)$ - минус, $(-1; 1)$ - плюс, $(1; 4)$ - минус, $(4; +\infty)$ - плюс.

4. Мы ищем значения $x$, при которых выражение больше нуля, то есть выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-1; 1) \cup (4; +\infty)$.

г)

Сначала упростим неравенство: $(x + 4)(x + 2)(x - 0) < 0$ эквивалентно $x(x + 2)(x + 4) < 0$.

Решим его методом интервалов.

1. Нули функции $f(x) = x(x + 2)(x + 4)$: $x_1 = -4$, $x_2 = -2$, $x_3 = 0$.

2. Отметим выколотые точки $-4$, $-2$, $0$ на числовой оси. Интервалы: $(-\infty; -4)$, $(-4; -2)$, $(-2; 0)$ и $(0; +\infty)$.

3. Определим знаки. В крайнем правом интервале $(0; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются.

Схема знаков: $(-\infty; -4)$ - минус, $(-4; -2)$ - плюс, $(-2; 0)$ - минус, $(0; +\infty)$ - плюс.

4. Мы ищем значения $x$, при которых выражение меньше нуля, то есть выбираем интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-2; 0)$.

д)

Решим неравенство $(x + 5)(x + 3)(x + 1) > 0$ методом интервалов.

1. Нули функции $f(x) = (x + 5)(x + 3)(x + 1)$: $x_1 = -5$, $x_2 = -3$, $x_3 = -1$.

2. Отметим выколотые точки $-5$, $-3$, $-1$ на числовой оси. Интервалы: $(-\infty; -5)$, $(-5; -3)$, $(-3; -1)$ и $(-1; +\infty)$.

3. Определим знаки. В крайнем правом интервале $(-1; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются.

Схема знаков: $(-\infty; -5)$ - минус, $(-5; -3)$ - плюс, $(-3; -1)$ - минус, $(-1; +\infty)$ - плюс.

4. Мы ищем значения $x$, при которых выражение больше нуля, то есть выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-5; -3) \cup (-1; +\infty)$.

е)

Решим неравенство $(x + 4)(x + 3)x < 0$ методом интервалов.

1. Нули функции $f(x) = x(x + 3)(x + 4)$: $x_1 = -4$, $x_2 = -3$, $x_3 = 0$.

2. Отметим выколотые точки $-4$, $-3$, $0$ на числовой оси. Интервалы: $(-\infty; -4)$, $(-4; -3)$, $(-3; 0)$ и $(0; +\infty)$.

3. Определим знаки. В крайнем правом интервале $(0; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются.

Схема знаков: $(-\infty; -4)$ - минус, $(-4; -3)$ - плюс, $(-3; 0)$ - минус, $(0; +\infty)$ - плюс.

4. Мы ищем значения $x$, при которых выражение меньше нуля, то есть выбираем интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-3; 0)$.

2.67 Решите неравенство методом интервалов:

а) $(x^2 + x)(x - 1) > 0;$

б) $(3x + 12)(x^2 - 2x) < 0;$

в) $(6x^2 + 12x)(x + 4) < 0;$

г) $(2x^2 - 16x)(4x + 4) > 0;$

д) $(x^2 - 4)(x^2 - 1) > 0;$

е) $(x^2 - 25)(x^2 - 9) < 0;$

ж) $(x^2 + 5x)(x^2 - 9) < 0;$

з) $(x^2 + 3x)(x^2 - 16) > 0.$

а) Решим неравенство $(x^2 + x)(x - 1) > 0$.
Сначала разложим левую часть на множители: $x(x + 1)(x - 1) > 0$.
Найдем корни уравнения $x(x + 1)(x - 1) = 0$. Корнями являются $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$, $(1, \infty)$.
Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку $x=2$ из крайнего правого интервала $(1, \infty)$: $2(2+1)(2-1) = 6 > 0$. Значит, в этом интервале выражение положительно.
Так как все корни имеют кратность 1 (нечетную), знаки в соседних интервалах будут чередоваться: $(-\infty, -1) \rightarrow -$, $(-1, 0) \rightarrow +$, $(0, 1) \rightarrow -$, $(1, \infty) \rightarrow +$.
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+"). Это $(-1, 0)$ и $(1, \infty)$.
Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$.

б) Решим неравенство $(3x + 12)(x^2 - 2x) < 0$.
Разложим на множители: $3(x + 4) \cdot x(x - 2) < 0$.
Найдем корни уравнения $3x(x + 4)(x - 2) = 0$. Корнями являются $x_1 = -4$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.
Отметим точки на числовой прямой: $-4$, $0$, $2$. Они разбивают прямую на интервалы: $(-\infty, -4)$, $(-4, 0)$, $(0, 2)$, $(2, \infty)$.
Определим знаки. При $x=3$: $3(3+4) \cdot 3(3-2) > 0$. Знаки чередуются: $(-\infty, -4) \rightarrow -$, $(-4, 0) \rightarrow +$, $(0, 2) \rightarrow -$, $(2, \infty) \rightarrow +$.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"). Это $(-\infty, -4)$ и $(0, 2)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (0, 2)$.

в) Решим неравенство $(6x^2 + 12x)(x + 4) < 0$.
Разложим на множители: $6x(x + 2)(x + 4) < 0$.
Найдем корни уравнения $6x(x + 2)(x + 4) = 0$. Корнями являются $x_1 = -4$, $x_2 = -2$, $x_3 = 0$.
Отметим точки на числовой прямой: $-4$, $-2$, $0$. Интервалы: $(-\infty, -4)$, $(-4, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, \infty)$.
Определим знаки. При $x=1$: $6(1)(1+2)(1+4) > 0$. Знаки чередуются: $(-\infty, -4) \rightarrow -$, $(-4, -2) \rightarrow +$, $(-2, 0) \rightarrow -$, $(0, \infty) \rightarrow +$.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"). Это $(-\infty, -4)$ и $(-2, 0)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-2, 0)$.

г) Решим неравенство $(2x^2 - 16x)(4x + 4) > 0$.
Разложим на множители: $2x(x - 8) \cdot 4(x + 1) > 0 \Rightarrow 8x(x + 1)(x - 8) > 0$.
Найдем корни уравнения $8x(x + 1)(x - 8) = 0$. Корнями являются $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 8$.
Отметим точки на числовой прямой: $-1$, $0$, $8$. Интервалы: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 8)$, $(8, \infty)$.
Определим знаки. При $x=9$: $8(9)(9+1)(9-8) > 0$. Знаки чередуются: $(-\infty, -1) \rightarrow -$, $(-1, 0) \rightarrow +$, $(0, 8) \rightarrow -$, $(8, \infty) \rightarrow +$.
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+"). Это $(-1, 0)$ и $(8, \infty)$.
Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (8, \infty)$.

д) Решим неравенство $(x^2 - 4)(x^2 - 1) > 0$.
Разложим на множители, используя формулу разности квадратов: $(x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1) > 0$.
Найдем корни: $x_1 = -2$, $x_2 = -1$, $x_3 = 1$, $x_4 = 2$.
Отметим точки на числовой прямой: $-2, -1, 1, 2$. Интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, 2)$, $(2, \infty)$.
Определим знаки. При $x=3$: $(3-2)(3+2)(3-1)(3+1) > 0$. Знаки чередуются: $(-\infty, -2) \rightarrow +$, $(-2, -1) \rightarrow -$, $(-1, 1) \rightarrow +$, $(1, 2) \rightarrow -$, $(2, \infty) \rightarrow +$.
Нам нужны интервалы со знаком "+": $(-\infty, -2)$, $(-1, 1)$, $(2, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, 1) \cup (2, \infty)$.

е) Решим неравенство $(x^2 - 25)(x^2 - 9) < 0$.
Разложим на множители: $(x - 5)(x + 5)(x - 3)(x + 3) < 0$.
Найдем корни: $x_1 = -5$, $x_2 = -3$, $x_3 = 3$, $x_4 = 5$.
Отметим точки на числовой прямой: $-5, -3, 3, 5$. Интервалы: $(-\infty, -5)$, $(-5, -3)$, $(-3, 3)$, $(3, 5)$, $(5, \infty)$.
Определим знаки. При $x=6$: $(6-5)(6+5)(6-3)(6+3) > 0$. Знаки чередуются: $(-\infty, -5) \rightarrow +$, $(-5, -3) \rightarrow -$, $(-3, 3) \rightarrow +$, $(3, 5) \rightarrow -$, $(5, \infty) \rightarrow +$.
Нам нужны интервалы со знаком "-": $(-5, -3)$ и $(3, 5)$.
Ответ: $x \in (-5, -3) \cup (3, 5)$.

ж) Решим неравенство $(x^2 + 5x)(x^2 - 9) < 0$.
Разложим на множители: $x(x + 5)(x - 3)(x + 3) < 0$.
Найдем корни: $x_1 = -5$, $x_2 = -3$, $x_3 = 0$, $x_4 = 3$.
Отметим точки на числовой прямой: $-5, -3, 0, 3$. Интервалы: $(-\infty, -5)$, $(-5, -3)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$, $(3, \infty)$.
Определим знаки. При $x=4$: $4(4+5)(4-3)(4+3) > 0$. Знаки чередуются: $(-\infty, -5) \rightarrow +$, $(-5, -3) \rightarrow -$, $(-3, 0) \rightarrow +$, $(0, 3) \rightarrow -$, $(3, \infty) \rightarrow +$.
Нам нужны интервалы со знаком "-": $(-5, -3)$ и $(0, 3)$.
Ответ: $x \in (-5, -3) \cup (0, 3)$.

з) Решим неравенство $(x^2 + 3x)(x^2 - 16) > 0$.
Разложим на множители: $x(x + 3)(x - 4)(x + 4) > 0$.
Найдем корни: $x_1 = -4$, $x_2 = -3$, $x_3 = 0$, $x_4 = 4$.
Отметим точки на числовой прямой: $-4, -3, 0, 4$. Интервалы: $(-\infty, -4)$, $(-4, -3)$, $(-3, 0)$, $(0, 4)$, $(4, \infty)$.
Определим знаки. При $x=5$: $5(5+3)(5-4)(5+4) > 0$. Знаки чередуются: $(-\infty, -4) \rightarrow +$, $(-4, -3) \rightarrow -$, $(-3, 0) \rightarrow +$, $(0, 4) \rightarrow -$, $(4, \infty) \rightarrow +$.
Нам нужны интервалы со знаком "+": $(-\infty, -4)$, $(-3, 0)$ и $(4, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-3, 0) \cup (4, \infty)$.

2.68 Решите неравенство:

а) $(x + 2)(3 - x)(x + 1) > 0;$

б) $(x + 3)(2 - x)(x + 2) < 0;$

в) $(x - 1)(9 - x^2) < 0;$

г) $(x - 3)(4 - x^2) > 0;$

д) $(1 - x)(2 - x)(3 - x) > 0;$

е) $(1 + x)(3 + x)(5 + x) < 0.$

а) Решим неравенство $(x+2)(3-x)(x+1) > 0$ методом интервалов.
Сначала приведем его к стандартному виду, чтобы коэффициенты при $x$ были положительными. Вынесем $-1$ из скобки $(3-x)$:
$(x+2)(-(x-3))(x+1) > 0$
$-(x+2)(x-3)(x+1) > 0$
Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства:
$(x+2)(x-3)(x+1) < 0$
Найдем нули (корни) левой части, приравняв ее к нулю:
$x+2=0 \implies x_1 = -2$
$x-3=0 \implies x_2 = 3$
$x+1=0 \implies x_3 = -1$
Отметим точки $-2, -1, 3$ на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала. Определим знак выражения на каждом интервале. На крайнем правом интервале (при $x > 3$) все множители положительны, значит, их произведение положительно. Далее знаки чередуются, так как все корни имеют кратность 1.
Интервалы и знаки: $(-\infty; -2): -$; $(-2; -1): +$; $(-1; 3): -$; $(3; +\infty): +$.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля, то есть где стоит знак "минус".
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-1; 3)$.

б) Решим неравенство $(x+3)(2-x)(x+2) < 0$.
Приведем к стандартному виду, вынеся $-1$ из скобки $(2-x)$:
$(x+3)(-(x-2))(x+2) < 0$
$-(x+3)(x-2)(x+2) < 0$
Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства:
$(x+3)(x-2)(x+2) > 0$
Найдем нули левой части:
$x+3=0 \implies x_1 = -3$
$x-2=0 \implies x_2 = 2$
$x+2=0 \implies x_3 = -2$
Отметим точки $-3, -2, 2$ на числовой оси. Определим знаки на интервалах. При $x > 2$ выражение положительно. Далее знаки чередуются.
Интервалы и знаки: $(-\infty; -3): -$; $(-3; -2): +$; $(-2; 2): -$; $(2; +\infty): +$.
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля, то есть где стоит знак "плюс".
Ответ: $x \in (-3; -2) \cup (2; \infty)$.

в) Решим неравенство $(x-1)(9-x^2) < 0$.
Разложим $9-x^2$ на множители по формуле разности квадратов: $9-x^2 = (3-x)(3+x)$.
$(x-1)(3-x)(3+x) < 0$
Приведем к стандартному виду, вынеся $-1$ из скобки $(3-x)$:
$(x-1)(-(x-3))(x+3) < 0$
$-(x-1)(x-3)(x+3) < 0$
Умножим на $-1$ и изменим знак неравенства:
$(x-1)(x-3)(x+3) > 0$
Нули левой части: $x_1 = 1, x_2 = 3, x_3 = -3$.
Отметим точки $-3, 1, 3$ на числовой оси. При $x > 3$ выражение положительно. Далее знаки чередуются.
Интервалы и знаки: $(-\infty; -3): -$; $(-3; 1): +$; $(1; 3): -$; $(3; +\infty): +$.
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля.
Ответ: $x \in (-3; 1) \cup (3; \infty)$.

г) Решим неравенство $(x-3)(4-x^2) > 0$.
Разложим $4-x^2$ на множители: $4-x^2 = (2-x)(2+x)$.
$(x-3)(2-x)(2+x) > 0$
Вынесем $-1$ из скобки $(2-x)$:
$(x-3)(-(x-2))(x+2) > 0$
$-(x-3)(x-2)(x+2) > 0$
Умножим на $-1$ и изменим знак неравенства:
$(x-3)(x-2)(x+2) < 0$
Нули левой части: $x_1 = 3, x_2 = 2, x_3 = -2$.
Отметим точки $-2, 2, 3$ на числовой оси. При $x > 3$ выражение положительно. Далее знаки чередуются.
Интервалы и знаки: $(-\infty; -2): -$; $(-2; 2): +$; $(2; 3): -$; $(3; +\infty): +$.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; 3)$.

д) Решим неравенство $(1-x)(2-x)(3-x) > 0$.
Вынесем $-1$ из каждой скобки:
$(-(x-1))(-(x-2))(-(x-3)) > 0$
$(-1)^3(x-1)(x-2)(x-3) > 0$
$-(x-1)(x-2)(x-3) > 0$
Умножим на $-1$ и изменим знак неравенства:
$(x-1)(x-2)(x-3) < 0$
Нули левой части: $x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3$.
Отметим точки $1, 2, 3$ на числовой оси. При $x > 3$ выражение положительно. Далее знаки чередуются.
Интервалы и знаки: $(-\infty; 1): -$; $(1; 2): +$; $(2; 3): -$; $(3; +\infty): +$.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; 3)$.

е) Решим неравенство $(1+x)(3+x)(5+x) < 0$.
Неравенство уже в стандартном виде: $(x+1)(x+3)(x+5) < 0$.
Найдем нули левой части:
$x+1=0 \implies x_1 = -1$
$x+3=0 \implies x_2 = -3$
$x+5=0 \implies x_3 = -5$
Отметим точки $-5, -3, -1$ на числовой оси. При $x > -1$ выражение положительно. Далее знаки чередуются.
Интервалы и знаки: $(-\infty; -5): -$; $(-5; -3): +$; $(-3; -1): -$; $(-1; +\infty): +$.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-3; -1)$.