Номер 2.67, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.8. Метод интервалов решения неравенств. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.67, страница 78.

2.67 Решите неравенство методом интервалов:

а) $(x^2 + x)(x - 1) > 0;$

б) $(3x + 12)(x^2 - 2x) < 0;$

в) $(6x^2 + 12x)(x + 4) < 0;$

г) $(2x^2 - 16x)(4x + 4) > 0;$

д) $(x^2 - 4)(x^2 - 1) > 0;$

е) $(x^2 - 25)(x^2 - 9) < 0;$

ж) $(x^2 + 5x)(x^2 - 9) < 0;$

з) $(x^2 + 3x)(x^2 - 16) > 0.$

а) Решим неравенство $(x^2 + x)(x - 1) > 0$.
Сначала разложим левую часть на множители: $x(x + 1)(x - 1) > 0$.
Найдем корни уравнения $x(x + 1)(x - 1) = 0$. Корнями являются $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$, $(1, \infty)$.
Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку $x=2$ из крайнего правого интервала $(1, \infty)$: $2(2+1)(2-1) = 6 > 0$. Значит, в этом интервале выражение положительно.
Так как все корни имеют кратность 1 (нечетную), знаки в соседних интервалах будут чередоваться: $(-\infty, -1) \rightarrow -$, $(-1, 0) \rightarrow +$, $(0, 1) \rightarrow -$, $(1, \infty) \rightarrow +$.
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+"). Это $(-1, 0)$ и $(1, \infty)$.
Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$.

б) Решим неравенство $(3x + 12)(x^2 - 2x) < 0$.
Разложим на множители: $3(x + 4) \cdot x(x - 2) < 0$.
Найдем корни уравнения $3x(x + 4)(x - 2) = 0$. Корнями являются $x_1 = -4$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.
Отметим точки на числовой прямой: $-4$, $0$, $2$. Они разбивают прямую на интервалы: $(-\infty, -4)$, $(-4, 0)$, $(0, 2)$, $(2, \infty)$.
Определим знаки. При $x=3$: $3(3+4) \cdot 3(3-2) > 0$. Знаки чередуются: $(-\infty, -4) \rightarrow -$, $(-4, 0) \rightarrow +$, $(0, 2) \rightarrow -$, $(2, \infty) \rightarrow +$.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"). Это $(-\infty, -4)$ и $(0, 2)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (0, 2)$.

в) Решим неравенство $(6x^2 + 12x)(x + 4) < 0$.
Разложим на множители: $6x(x + 2)(x + 4) < 0$.
Найдем корни уравнения $6x(x + 2)(x + 4) = 0$. Корнями являются $x_1 = -4$, $x_2 = -2$, $x_3 = 0$.
Отметим точки на числовой прямой: $-4$, $-2$, $0$. Интервалы: $(-\infty, -4)$, $(-4, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, \infty)$.
Определим знаки. При $x=1$: $6(1)(1+2)(1+4) > 0$. Знаки чередуются: $(-\infty, -4) \rightarrow -$, $(-4, -2) \rightarrow +$, $(-2, 0) \rightarrow -$, $(0, \infty) \rightarrow +$.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"). Это $(-\infty, -4)$ и $(-2, 0)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-2, 0)$.

г) Решим неравенство $(2x^2 - 16x)(4x + 4) > 0$.
Разложим на множители: $2x(x - 8) \cdot 4(x + 1) > 0 \Rightarrow 8x(x + 1)(x - 8) > 0$.
Найдем корни уравнения $8x(x + 1)(x - 8) = 0$. Корнями являются $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 8$.
Отметим точки на числовой прямой: $-1$, $0$, $8$. Интервалы: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 8)$, $(8, \infty)$.
Определим знаки. При $x=9$: $8(9)(9+1)(9-8) > 0$. Знаки чередуются: $(-\infty, -1) \rightarrow -$, $(-1, 0) \rightarrow +$, $(0, 8) \rightarrow -$, $(8, \infty) \rightarrow +$.
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+"). Это $(-1, 0)$ и $(8, \infty)$.
Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (8, \infty)$.

д) Решим неравенство $(x^2 - 4)(x^2 - 1) > 0$.
Разложим на множители, используя формулу разности квадратов: $(x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1) > 0$.
Найдем корни: $x_1 = -2$, $x_2 = -1$, $x_3 = 1$, $x_4 = 2$.
Отметим точки на числовой прямой: $-2, -1, 1, 2$. Интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, 2)$, $(2, \infty)$.
Определим знаки. При $x=3$: $(3-2)(3+2)(3-1)(3+1) > 0$. Знаки чередуются: $(-\infty, -2) \rightarrow +$, $(-2, -1) \rightarrow -$, $(-1, 1) \rightarrow +$, $(1, 2) \rightarrow -$, $(2, \infty) \rightarrow +$.
Нам нужны интервалы со знаком "+": $(-\infty, -2)$, $(-1, 1)$, $(2, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, 1) \cup (2, \infty)$.

е) Решим неравенство $(x^2 - 25)(x^2 - 9) < 0$.
Разложим на множители: $(x - 5)(x + 5)(x - 3)(x + 3) < 0$.
Найдем корни: $x_1 = -5$, $x_2 = -3$, $x_3 = 3$, $x_4 = 5$.
Отметим точки на числовой прямой: $-5, -3, 3, 5$. Интервалы: $(-\infty, -5)$, $(-5, -3)$, $(-3, 3)$, $(3, 5)$, $(5, \infty)$.
Определим знаки. При $x=6$: $(6-5)(6+5)(6-3)(6+3) > 0$. Знаки чередуются: $(-\infty, -5) \rightarrow +$, $(-5, -3) \rightarrow -$, $(-3, 3) \rightarrow +$, $(3, 5) \rightarrow -$, $(5, \infty) \rightarrow +$.
Нам нужны интервалы со знаком "-": $(-5, -3)$ и $(3, 5)$.
Ответ: $x \in (-5, -3) \cup (3, 5)$.

ж) Решим неравенство $(x^2 + 5x)(x^2 - 9) < 0$.
Разложим на множители: $x(x + 5)(x - 3)(x + 3) < 0$.
Найдем корни: $x_1 = -5$, $x_2 = -3$, $x_3 = 0$, $x_4 = 3$.
Отметим точки на числовой прямой: $-5, -3, 0, 3$. Интервалы: $(-\infty, -5)$, $(-5, -3)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$, $(3, \infty)$.
Определим знаки. При $x=4$: $4(4+5)(4-3)(4+3) > 0$. Знаки чередуются: $(-\infty, -5) \rightarrow +$, $(-5, -3) \rightarrow -$, $(-3, 0) \rightarrow +$, $(0, 3) \rightarrow -$, $(3, \infty) \rightarrow +$.
Нам нужны интервалы со знаком "-": $(-5, -3)$ и $(0, 3)$.
Ответ: $x \in (-5, -3) \cup (0, 3)$.

з) Решим неравенство $(x^2 + 3x)(x^2 - 16) > 0$.
Разложим на множители: $x(x + 3)(x - 4)(x + 4) > 0$.
Найдем корни: $x_1 = -4$, $x_2 = -3$, $x_3 = 0$, $x_4 = 4$.
Отметим точки на числовой прямой: $-4, -3, 0, 4$. Интервалы: $(-\infty, -4)$, $(-4, -3)$, $(-3, 0)$, $(0, 4)$, $(4, \infty)$.
Определим знаки. При $x=5$: $5(5+3)(5-4)(5+4) > 0$. Знаки чередуются: $(-\infty, -4) \rightarrow +$, $(-4, -3) \rightarrow -$, $(-3, 0) \rightarrow +$, $(0, 4) \rightarrow -$, $(4, \infty) \rightarrow +$.
Нам нужны интервалы со знаком "+": $(-\infty, -4)$, $(-3, 0)$ и $(4, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-3, 0) \cup (4, \infty)$.