Номер 2.66, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.8. Метод интервалов решения неравенств. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.66, страница 78.

2.66 По плану предыдущего задания решите неравенство:

а) $(x - 1)(x - 4)(x - 9) > 0;$

б) $(x - (-1))(x - 3)(x - 5) < 0;$

в) $(x + 1)(x - 1)(x - 4) > 0;$

г) $(x + 4)(x + 2)(x - 0) < 0;$

д) $(x + 5)(x + 3)(x + 1) > 0;$

е) $(x + 4)(x + 3)x < 0.$

а)

Решим неравенство $(x - 1)(x - 4)(x - 9) > 0$ методом интервалов.

1. Найдём нули функции $f(x) = (x - 1)(x - 4)(x - 9)$. Для этого приравняем выражение к нулю:

$(x - 1)(x - 4)(x - 9) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$, $x_3 = 9$.

2. Отметим корни на числовой оси. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми. Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 4)$, $(4; 9)$ и $(9; +\infty)$.

3. Определим знак выражения на каждом интервале. В крайнем правом интервале $(9; +\infty)$ все множители положительны, поэтому произведение будет положительным. Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться.

Схема знаков (справа налево): $+, -, +, -$.

Таким образом, знаки на интервалах: $(-\infty; 1)$ - минус, $(1; 4)$ - плюс, $(4; 9)$ - минус, $(9; +\infty)$ - плюс.

4. Мы ищем значения $x$, при которых выражение больше нуля, то есть выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (1; 4) \cup (9; +\infty)$.

б)

Сначала упростим неравенство: $(x - (-1))(x - 3)(x - 5) < 0$ эквивалентно $(x + 1)(x - 3)(x - 5) < 0$.

Решим его методом интервалов.

1. Нули функции $f(x) = (x + 1)(x - 3)(x - 5)$: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$, $x_3 = 5$.

2. Отметим выколотые точки $-1$, $3$, $5$ на числовой оси. Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 3)$, $(3; 5)$ и $(5; +\infty)$.

3. Определим знаки. В крайнем правом интервале $(5; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются.

Схема знаков: $(-\infty; -1)$ - минус, $(-1; 3)$ - плюс, $(3; 5)$ - минус, $(5; +\infty)$ - плюс.

4. Мы ищем значения $x$, при которых выражение меньше нуля, то есть выбираем интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; 5)$.

в)

Решим неравенство $(x + 1)(x - 1)(x - 4) > 0$ методом интервалов.

1. Нули функции $f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 4)$: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$, $x_3 = 4$.

2. Отметим выколотые точки $-1$, $1$, $4$ на числовой оси. Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; 4)$ и $(4; +\infty)$.

3. Определим знаки. В крайнем правом интервале $(4; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются.

Схема знаков: $(-\infty; -1)$ - минус, $(-1; 1)$ - плюс, $(1; 4)$ - минус, $(4; +\infty)$ - плюс.

4. Мы ищем значения $x$, при которых выражение больше нуля, то есть выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-1; 1) \cup (4; +\infty)$.

г)

Сначала упростим неравенство: $(x + 4)(x + 2)(x - 0) < 0$ эквивалентно $x(x + 2)(x + 4) < 0$.

Решим его методом интервалов.

1. Нули функции $f(x) = x(x + 2)(x + 4)$: $x_1 = -4$, $x_2 = -2$, $x_3 = 0$.

2. Отметим выколотые точки $-4$, $-2$, $0$ на числовой оси. Интервалы: $(-\infty; -4)$, $(-4; -2)$, $(-2; 0)$ и $(0; +\infty)$.

3. Определим знаки. В крайнем правом интервале $(0; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются.

Схема знаков: $(-\infty; -4)$ - минус, $(-4; -2)$ - плюс, $(-2; 0)$ - минус, $(0; +\infty)$ - плюс.

4. Мы ищем значения $x$, при которых выражение меньше нуля, то есть выбираем интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-2; 0)$.

д)

Решим неравенство $(x + 5)(x + 3)(x + 1) > 0$ методом интервалов.

1. Нули функции $f(x) = (x + 5)(x + 3)(x + 1)$: $x_1 = -5$, $x_2 = -3$, $x_3 = -1$.

2. Отметим выколотые точки $-5$, $-3$, $-1$ на числовой оси. Интервалы: $(-\infty; -5)$, $(-5; -3)$, $(-3; -1)$ и $(-1; +\infty)$.

3. Определим знаки. В крайнем правом интервале $(-1; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются.

Схема знаков: $(-\infty; -5)$ - минус, $(-5; -3)$ - плюс, $(-3; -1)$ - минус, $(-1; +\infty)$ - плюс.

4. Мы ищем значения $x$, при которых выражение больше нуля, то есть выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-5; -3) \cup (-1; +\infty)$.

е)

Решим неравенство $(x + 4)(x + 3)x < 0$ методом интервалов.

1. Нули функции $f(x) = x(x + 3)(x + 4)$: $x_1 = -4$, $x_2 = -3$, $x_3 = 0$.

2. Отметим выколотые точки $-4$, $-3$, $0$ на числовой оси. Интервалы: $(-\infty; -4)$, $(-4; -3)$, $(-3; 0)$ и $(0; +\infty)$.

3. Определим знаки. В крайнем правом интервале $(0; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются.

Схема знаков: $(-\infty; -4)$ - минус, $(-4; -3)$ - плюс, $(-3; 0)$ - минус, $(0; +\infty)$ - плюс.

4. Мы ищем значения $x$, при которых выражение меньше нуля, то есть выбираем интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-3; 0)$.