Номер 2.69, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.8. Метод интервалов решения неравенств. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.69, страница 79.

2.69* Найдите все числа $x$, для каждого из которых

$(x - 1)(x - 2)^2 (x - 3) = 0.$

Изобразите эти числа на координатной оси. Определите знак произведения $(x - 1)(x - 2)^2 (x - 3)$ на каждом из полученных интервалов. Укажите все значения $x$, для которых:

a) $(x - 1)(x - 2)^2 (x - 3) > 0;$

б) $(x - 1)(x - 2)^2 (x - 3) < 0.$

Сначала найдем все числа $x$, для которых произведение равно нулю. Уравнение $(x - 1)(x - 2)^2(x - 3) = 0$ выполняется в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$

$(x - 2)^2 = 0 \Rightarrow x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x_3 = 3$

Таким образом, корни уравнения: $1, 2, 3$.

Теперь изобразим эти числа на координатной оси. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак произведения $f(x) = (x - 1)(x - 2)^2(x - 3)$ на каждом из этих интервалов, используя метод интервалов.

Множитель $(x - 2)^2$ всегда неотрицателен (он равен нулю при $x=2$ и положителен при всех остальных $x$). Следовательно, при $x \ne 2$ этот множитель не влияет на знак всего выражения. Знак произведения определяется знаками множителей $(x - 1)$ и $(x - 3)$.

Проанализируем знаки, двигаясь по координатной оси справа налево:

1. На интервале $(3; +\infty)$, например, при $x=4$, все множители $(x-1)$, $(x-2)^2$ и $(x-3)$ положительны, значит, произведение имеет знак +.

2. При переходе через корень $x=3$ (корень нечетной кратности 1), знак произведения меняется. Таким образом, на интервале $(2; 3)$ знак будет -.

3. При переходе через корень $x=2$ (корень четной кратности 2), знак произведения не меняется. Таким образом, на интервале $(1; 2)$ знак также будет -.

4. При переходе через корень $x=1$ (корень нечетной кратности 1), знак произведения снова меняется. Таким образом, на интервале $(-\infty; 1)$ знак будет +.

Итак, знаки на интервалах: $(-\infty; 1):$ +, $(1; 2):$ -, $(2; 3):$ -, $(3; +\infty):$ +.

Теперь решим неравенства:

а) $(x - 1)(x - 2)^2(x - 3) > 0$

Неравенство строгое, значит, мы ищем значения $x$, при которых произведение положительно. Исходя из анализа знаков, это происходит на интервалах, где стоит знак +.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

б) $(x - 1)(x - 2)^2(x - 3) < 0$

Неравенство строгое, значит, мы ищем значения $x$, при которых произведение отрицательно. Это происходит на интервалах, где стоит знак -. Важно отметить, что точка $x=2$ не входит в решение, так как в ней произведение равно нулю, а не меньше нуля.

Ответ: $x \in (1; 2) \cup (2; 3)$.