Номер 2.76, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.9. Рациональные неравенства. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.76, страница 83.

Решите неравенство (2.76—2.79):

2.76 а) $\frac{3}{x-1} > x+1;$

б) $\frac{5}{x+2} < x-2;$

в) $\frac{2x-3}{x+1} > 1;$

г) $\frac{3x+2}{x-2} < 1;$

д) $\frac{x}{4x-3} < \frac{1}{x};$

е) $\frac{x-5}{3x-9} > \frac{2}{x}.$

а) $ \frac{3}{x-1} > x+1 $

Перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем:

$ \frac{3}{x-1} - (x+1) > 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю $x-1$:

$ \frac{3 - (x+1)(x-1)}{x-1} > 0 $

Раскроем скобки в числителе, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$ \frac{3 - (x^2 - 1)}{x-1} > 0 $

$ \frac{3 - x^2 + 1}{x-1} > 0 $

$ \frac{4 - x^2}{x-1} > 0 $

Разложим числитель на множители:

$ \frac{(2-x)(2+x)}{x-1} > 0 $

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя:

Нули числителя: $ 2-x=0 \implies x=2 $; $ 2+x=0 \implies x=-2 $.

Нуль знаменателя: $ x-1=0 \implies x=1 $ (точка выколота).

Нанесем точки -2, 1, 2 на числовую ось и определим знаки выражения на получившихся интервалах:

- Интервал $(2, +\infty)$: пусть $x=3$, $ \frac{(2-3)(2+3)}{3-1} = \frac{-5}{2} < 0 $.
- Интервал $(1, 2)$: пусть $x=1.5$, $ \frac{(2-1.5)(2+1.5)}{1.5-1} = \frac{1.75}{0.5} > 0 $.
- Интервал $(-2, 1)$: пусть $x=0$, $ \frac{(2-0)(2+0)}{0-1} = -4 < 0 $.
- Интервал $(-\infty, -2)$: пусть $x=-3$, $ \frac{(2-(-3))(2-3)}{-3-1} = \frac{5(-1)}{-4} > 0 $.

Выбираем интервалы, где выражение больше нуля.

Ответ: $ x \in (-\infty, -2) \cup (1, 2) $.

б) $ \frac{5}{x+2} < x-2 $

Перенесем все члены в левую часть:

$ \frac{5}{x+2} - (x-2) < 0 $

Приведем к общему знаменателю $x+2$:

$ \frac{5 - (x-2)(x+2)}{x+2} < 0 $

Упростим числитель:

$ \frac{5 - (x^2 - 4)}{x+2} < 0 $

$ \frac{5 - x^2 + 4}{x+2} < 0 $

$ \frac{9 - x^2}{x+2} < 0 $

Разложим числитель на множители:

$ \frac{(3-x)(3+x)}{x+2} < 0 $

Решаем методом интервалов. Корни числителя: $x=3, x=-3$. Корень знаменателя: $x=-2$.

Наносим точки -3, -2, 3 на числовую ось и определяем знаки:

- Интервал $(3, +\infty)$: пусть $x=4$, $ \frac{(3-4)(3+4)}{4+2} = \frac{-7}{6} < 0 $.
- Интервал $(-2, 3)$: пусть $x=0$, $ \frac{(3-0)(3+0)}{0+2} = \frac{9}{2} > 0 $.
- Интервал $(-3, -2)$: пусть $x=-2.5$, $ \frac{(3-(-2.5))(3-2.5)}{-2.5+2} = \frac{5.5 \cdot 0.5}{-0.5} < 0 $.
- Интервал $(-\infty, -3)$: пусть $x=-4$, $ \frac{(3-(-4))(3-4)}{-4+2} = \frac{7(-1)}{-2} > 0 $.

Выбираем интервалы, где выражение меньше нуля.

Ответ: $ x \in (-3, -2) \cup (3, \infty) $.

в) $ \frac{2x-3}{x+1} > 1 $

Перенесем 1 в левую часть:

$ \frac{2x-3}{x+1} - 1 > 0 $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{2x-3 - (x+1)}{x+1} > 0 $

$ \frac{2x-3-x-1}{x+1} > 0 $

$ \frac{x-4}{x+1} > 0 $

Решаем методом интервалов. Корень числителя: $x=4$. Корень знаменателя: $x=-1$.

Наносим точки -1, 4 на числовую ось и определяем знаки:

- Интервал $(4, +\infty)$: пусть $x=5$, $ \frac{5-4}{5+1} > 0 $.
- Интервал $(-1, 4)$: пусть $x=0$, $ \frac{0-4}{0+1} < 0 $.
- Интервал $(-\infty, -1)$: пусть $x=-2$, $ \frac{-2-4}{-2+1} > 0 $.

Выбираем интервалы, где выражение больше нуля.

Ответ: $ x \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty) $.

г) $ \frac{3x+2}{x-2} < 1 $

Перенесем 1 в левую часть:

$ \frac{3x+2}{x-2} - 1 < 0 $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{3x+2 - (x-2)}{x-2} < 0 $

$ \frac{3x+2-x+2}{x-2} < 0 $

$ \frac{2x+4}{x-2} < 0 $

$ \frac{2(x+2)}{x-2} < 0 $

Решаем методом интервалов. Корень числителя: $x=-2$. Корень знаменателя: $x=2$.

Наносим точки -2, 2 на числовую ось и определяем знаки:

- Интервал $(2, +\infty)$: пусть $x=3$, $ \frac{2(3+2)}{3-2} > 0 $.
- Интервал $(-2, 2)$: пусть $x=0$, $ \frac{2(0+2)}{0-2} < 0 $.
- Интервал $(-\infty, -2)$: пусть $x=-3$, $ \frac{2(-3+2)}{-3-2} > 0 $.

Выбираем интервал, где выражение меньше нуля.

Ответ: $ x \in (-2, 2) $.

д) $ \frac{x}{4x-3} < \frac{1}{x} $

Перенесем все в левую часть. Область допустимых значений: $x \neq 0, x \neq \frac{3}{4}$.

$ \frac{x}{4x-3} - \frac{1}{x} < 0 $

Приведем к общему знаменателю $x(4x-3)$:

$ \frac{x \cdot x - 1 \cdot (4x-3)}{x(4x-3)} < 0 $

$ \frac{x^2 - 4x + 3}{x(4x-3)} < 0 $

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ это $x_1=1, x_2=3$.

$ \frac{(x-1)(x-3)}{x(4x-3)} < 0 $

Решаем методом интервалов. Корни числителя: $x=1, x=3$. Корни знаменателя: $x=0, x=3/4$.

Наносим точки 0, 3/4, 1, 3 на числовую ось и определяем знаки:

- Интервал $(3, +\infty)$: $x=4$, $ \frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0 $.
- Интервал $(1, 3)$: $x=2$, $ \frac{(+)(-)}{(+)(+)} < 0 $.
- Интервал $(3/4, 1)$: $x=0.8$, $ \frac{(-)(-)}{(+)(+)} > 0 $.
- Интервал $(0, 3/4)$: $x=0.5$, $ \frac{(-)(-)}{(+)(-)} < 0 $.
- Интервал $(-\infty, 0)$: $x=-1$, $ \frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0 $.

Выбираем интервалы, где выражение меньше нуля.

Ответ: $ x \in (0, 3/4) \cup (1, 3) $.

е) $ \frac{x-5}{3x-9} > \frac{2}{x} $

Перенесем все в левую часть. ОДЗ: $x \neq 3, x \neq 0$.

$ \frac{x-5}{3(x-3)} - \frac{2}{x} > 0 $

Приведем к общему знаменателю $3x(x-3)$:

$ \frac{x(x-5) - 2 \cdot 3(x-3)}{3x(x-3)} > 0 $

$ \frac{x^2-5x - 6x+18}{3x(x-3)} > 0 $

$ \frac{x^2-11x+18}{3x(x-3)} > 0 $

Найдем корни числителя $x^2-11x+18=0$. По теореме Виета, корни $x_1=2, x_2=9$.

$ \frac{(x-2)(x-9)}{3x(x-3)} > 0 $

Решаем методом интервалов. Корни числителя: $x=2, x=9$. Корни знаменателя: $x=0, x=3$.

Наносим точки 0, 2, 3, 9 на числовую ось и определяем знаки:

- Интервал $(9, +\infty)$: $x=10$, $ \frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0 $.
- Интервал $(3, 9)$: $x=4$, $ \frac{(+)(-)}{(+)(+)} < 0 $.
- Интервал $(2, 3)$: $x=2.5$, $ \frac{(+)(-)}{(+)(-)} > 0 $.
- Интервал $(0, 2)$: $x=1$, $ \frac{(-)(-)}{(+)(-)} < 0 $.
- Интервал $(-\infty, 0)$: $x=-1$, $ \frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0 $.

Выбираем интервалы, где выражение больше нуля.

Ответ: $ x \in (-\infty, 0) \cup (2, 3) \cup (9, \infty) $.