Номер 2.82, страница 87 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.10. Нестрогие неравенства. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.82, страница 87.

Решите неравенство (2.82–2.92):

2.82 a) $2x - 3 \le 0;$

б) $4x - 3 \ge 0;$

в) $5x - 8 \ge 3x - 1;$

г) $2x - 4 \le 4x - 3.$

а) $2x - 3 \le 0$

Чтобы решить это линейное неравенство, сначала перенесем свободный член (-3) из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный.

$2x \le 3$

Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при переменной $x$, то есть на 2. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства сохраняется.

$\frac{2x}{2} \le \frac{3}{2}$

$x \le 1.5$

Решение неравенства представляет собой числовой промежуток от минус бесконечности до 1.5, включая 1.5.

Ответ: $x \in (-\infty; 1.5]$

б) $4x - 3 \ge 0$

Перенесем свободный член (-3) в правую часть, изменив знак на противоположный.

$4x \ge 3$

Разделим обе части неравенства на 4. Знак неравенства не меняется, так как 4 - положительное число.

$\frac{4x}{4} \ge \frac{3}{4}$

$x \ge 0.75$

Решение неравенства - это числовой промежуток от 0.75 до плюс бесконечности, включая 0.75.

Ответ: $x \in [0.75; +\infty)$

в) $5x - 8 \ge 3x - 1$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а свободные члены - в правой. При переносе слагаемых из одной части в другую их знаки меняются на противоположные.

$5x - 3x \ge -1 + 8$

Приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства.

$2x \ge 7$

Разделим обе части на 2. Знак неравенства остается прежним.

$\frac{2x}{2} \ge \frac{7}{2}$

$x \ge 3.5$

Решение неравенства - это числовой промежуток от 3.5 до плюс бесконечности, включая 3.5.

Ответ: $x \in [3.5; +\infty)$

г) $2x - 4 \le 4x - 3$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в одну часть, а числа - в другую. Например, перенесем $2x$ вправо, а -3 влево.

$-4 + 3 \le 4x - 2x$

Выполним вычисления в обеих частях.

$-1 \le 2x$

Теперь разделим обе части на 2. Знак неравенства не меняется.

$-\frac{1}{2} \le x$

Это неравенство можно записать в более привычном виде: $x \ge -0.5$.

Решение неравенства - это числовой промежуток от -0.5 до плюс бесконечности, включая -0.5.

Ответ: $x \in [-0.5; +\infty)$