Номер 2.88, страница 87 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.10. Нестрогие неравенства. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.88, страница 87.

2.88* a) $(x^2 - 1)(x + 3) \ge 0;$

Б) $(4 - x^2)(7 - x) \le 0;$

б) $(12 - 5x)(x^2 - 4x + 4) \ge 0;$

г) $(x^2 - 5x + 6)(x - 3) \le 0.$

а) $(x^2 - 1)(x + 3) \ge 0$

Сначала разложим на множители выражение в левой части неравенства. Используем формулу разности квадратов для $(x^2 - 1)$:

$(x - 1)(x + 1)(x + 3) \ge 0$

Далее решим неравенство методом интервалов. Найдем нули (корни) левой части, приравняв ее к нулю:

$(x - 1)(x + 1)(x + 3) = 0$

Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = -3$.

Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала. Определим знак выражения в каждом интервале. Все корни имеют кратность 1 (нечетную), поэтому знак будет чередоваться.

Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x=2$: $(2 - 1)(2 + 1)(2 + 3) = 1 \cdot 3 \cdot 5 = 15 > 0$. Значит, на интервале $(1, +\infty)$ выражение положительно.

Двигаясь справа налево, знаки на интервалах будут: $(+), (-), (+), (-)$.

$(-\infty; -3)$: $-$

$(-3; -1)$: $+$

$(-1; 1)$: $-$

$(1; +\infty)$: $+$

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Это промежутки со знаком «+», включая их концы, так как неравенство нестрогое.

Ответ: $x \in [-3, -1] \cup [1, +\infty)$.

б) $(12 - 5x)(x^2 - 4x + 4) \ge 0$

Заметим, что выражение $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом разности: $(x - 2)^2$.

Неравенство можно переписать в виде:

$(12 - 5x)(x - 2)^2 \ge 0$

Множитель $(x - 2)^2$ всегда неотрицателен, то есть $(x - 2)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.

Рассмотрим два случая:

1. $(x - 2)^2 = 0$. Это происходит при $x = 2$. В этом случае все выражение равно нулю, что удовлетворяет условию $0 \ge 0$. Таким образом, $x = 2$ является решением.

2. $(x - 2)^2 > 0$. Это выполняется для всех $x$, кроме $x=2$. В этом случае, чтобы произведение было неотрицательным, множитель $(12 - 5x)$ должен быть неотрицательным:

$12 - 5x \ge 0$

$12 \ge 5x$

$x \le \frac{12}{5}$

$x \le 2.4$

Объединяя оба случая, получаем, что решением является множество $x \le 2.4$. Это множество уже включает в себя точку $x=2$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2.4]$.

в) $(4 - x^2)(7 - x) \le 0$

Разложим на множители левую часть неравенства:

$(2 - x)(2 + x)(7 - x) \le 0$

Для удобства использования метода интервалов приведем множители к виду $(x-a)$, вынеся знак «-» из скобок $(2 - x)$ и $(7 - x)$:

$-(x - 2)(x + 2)(-(x - 7)) \le 0$

Произведение двух минусов дает плюс, поэтому неравенство эквивалентно следующему:

$(x + 2)(x - 2)(x - 7) \le 0$

Нули левой части: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$, $x_3 = 7$.

Отметим точки на числовой оси и определим знаки на интервалах. Для $x > 7$ все множители положительны, значит, на крайнем правом интервале знак «+». Все корни нечетной кратности, поэтому знаки чередуются.

$(-\infty; -2)$: $-$

$(-2; 2)$: $+$

$(2; 7)$: $-$

$(7; +\infty)$: $+$

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это промежутки со знаком «-», включая концы.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, 7]$.

г) $(x^2 - 5x + 6)(x - 3) \le 0$

Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 6$. Найдем его корни, решив уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Следовательно, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Подставим это в исходное неравенство:

$(x - 2)(x - 3)(x - 3) \le 0$

$(x - 2)(x - 3)^2 \le 0$

Множитель $(x - 3)^2$ всегда неотрицателен. Рассмотрим два случая:

1. $(x - 3)^2 = 0$. Это происходит при $x = 3$. В этом случае левая часть неравенства равна 0, что удовлетворяет условию $0 \le 0$. Значит, $x = 3$ является решением.

2. $(x - 3)^2 > 0$. Это выполняется для всех $x$, кроме $x=3$. В этом случае, чтобы произведение было неположительным, множитель $(x - 2)$ должен быть неположительным:

$x - 2 \le 0$

$x \le 2$

Объединяя оба случая, получаем, что решением является промежуток $(-\infty, 2]$ и изолированная точка $x=3$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup \{3\}$.