Номер 2.95, страница 90 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.11. Системы рациональных неравенств. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.95, страница 90.

Решите систему неравенств (2.95—2.100):

2.95

а) $\begin{cases} (x + 1)(x - 3) < 0 \\ (x + 2)(x - 1) < 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x (x + 5) < 0 \\ (x - 1)(x - 4) < 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} (x + 2)(x + 1) > 0 \\ (x + 6)(x - 3) \le 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} (x - 5)(x - 3) > 0 \\ (x + 3)(x - 4) \le 0. \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} (x+1)(x-3) < 0 \\ (x+2)(x-1) < 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $(x+1)(x-3) < 0$.
Найдем корни уравнения $(x+1)(x-3) = 0$. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.
Так как это парабола с ветвями вверх, то значения меньше нуля находятся между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-1, 3)$.

2. Решим второе неравенство: $(x+2)(x-1) < 0$.
Найдем корни уравнения $(x+2)(x-1) = 0$. Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$.
Это также парабола с ветвями вверх, поэтому значения меньше нуля находятся между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (-2, 1)$.

3. Найдем пересечение полученных решений.
Нам нужно найти пересечение интервалов $(-1, 3)$ и $(-2, 1)$.
Отметив эти интервалы на числовой прямой, видим, что их пересечением является интервал $(-1, 1)$.

Ответ: $x \in (-1, 1)$.

б)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x(x+5) < 0 \\ (x-1)(x-4) < 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x(x+5) < 0$.
Корни уравнения $x(x+5) = 0$: $x_1 = 0$, $x_2 = -5$.
Парабола $y=x(x+5)$ имеет ветви вверх, значит, неравенство выполняется между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-5, 0)$.

2. Решим второе неравенство: $(x-1)(x-4) < 0$.
Корни уравнения $(x-1)(x-4) = 0$: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.
Парабола $y=(x-1)(x-4)$ имеет ветви вверх, значит, неравенство выполняется между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (1, 4)$.

3. Найдем пересечение полученных решений.
Интервалы $(-5, 0)$ и $(1, 4)$ не пересекаются.
Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений).

в)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} (x+2)(x+1) > 0 \\ (x+6)(x-3) \le 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $(x+2)(x+1) > 0$.
Корни уравнения $(x+2)(x+1) = 0$: $x_1 = -2$, $x_2 = -1$.
Парабола $y=(x+2)(x+1)$ с ветвями вверх, поэтому значения больше нуля находятся вне интервала между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $(x+6)(x-3) \le 0$.
Корни уравнения $(x+6)(x-3) = 0$: $x_1 = -6$, $x_2 = 3$.
Парабола $y=(x+6)(x-3)$ с ветвями вверх, поэтому значения меньше или равные нулю находятся между корнями, включая сами корни.
Решение второго неравенства: $x \in [-6, 3]$.

3. Найдем пересечение полученных решений: $((-\infty, -2) \cup (-1, +\infty)) \cap [-6, 3]$.
Пересечение множества $[-6, 3]$ с $(-\infty, -2)$ дает интервал $[-6, -2)$.
Пересечение множества $[-6, 3]$ с $(-1, +\infty)$ дает интервал $(-1, 3]$.
Объединяя эти два результата, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [-6, -2) \cup (-1, 3]$.

г)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} (x-5)(x-3) > 0 \\ (x+3)(x-4) \le 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $(x-5)(x-3) > 0$.
Корни уравнения $(x-5)(x-3) = 0$: $x_1 = 3$, $x_2 = 5$.
Парабола $y=(x-5)(x-3)$ с ветвями вверх, поэтому значения больше нуля находятся вне интервала между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 3) \cup (5, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $(x+3)(x-4) \le 0$.
Корни уравнения $(x+3)(x-4) = 0$: $x_1 = -3$, $x_2 = 4$.
Парабола $y=(x+3)(x-4)$ с ветвями вверх, поэтому значения меньше или равные нулю находятся между корнями, включая сами корни.
Решение второго неравенства: $x \in [-3, 4]$.

3. Найдем пересечение полученных решений: $((-\infty, 3) \cup (5, +\infty)) \cap [-3, 4]$.
Пересечение интервала $[-3, 4]$ с объединением $(-\infty, 3) \cup (5, +\infty)$ равно пересечению $[-3, 4]$ с $(-\infty, 3)$.
Пересечение интервалов $[-3, 4]$ и $(-\infty, 3)$ является полуинтервалом $[-3, 3)$.

Ответ: $x \in [-3, 3)$.