Номер 2.101, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.11. Системы рациональных неравенств. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.101, страница 92.

ИССЛЕДУЕМ (2.101—2.107):

2.101* При каких значениях a система неравенств:

а) $ \begin{cases} x^2 - 4x - 12 \ge 0 \\ |x - a| \le 3; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x^2 - 4x - 12 \le 0 \\ |x - a| \le 3; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x^2 - (a + 3)x + 3a \le 0 \\ |x - 4| \ge 2; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x^2 - (a + 1)x + a \ge 0 \\ |x - 4| \le 2 \end{cases} $

имеет единственное решение?

a) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - 4x - 12 \ge 0 \\ |x - a| \le 3 \end{cases} $$ Сначала решим первое неравенство $x^2 - 4x - 12 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 6$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - 4x - 12$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [6, \infty)$.
Теперь решим второе неравенство $|x - a| \le 3$.
Оно равносильно двойному неравенству $-3 \le x - a \le 3$.
Прибавив $a$ ко всем частям, получим $a - 3 \le x \le a + 3$.
Решением является отрезок $[a - 3, a + 3]$ длиной 6.
Система будет иметь единственное решение, если пересечение множеств $(-\infty, -2] \cup [6, \infty)$ и $[a - 3, a + 3]$ состоит из одной точки.
Это возможно только в двух случаях:
1. Правый конец отрезка $[a - 3, a + 3]$ совпадает с точкой $x = -2$, а сам отрезок не пересекает луч $[6, \infty)$.
$a + 3 = -2 \implies a = -5$.
При $a = -5$ второе неравенство дает отрезок $[-8, -2]$. Пересечение с множеством $(-\infty, -2] \cup [6, \infty)$ — это точка $x = -2$. Условие выполняется.
2. Левый конец отрезка $[a - 3, a + 3]$ совпадает с точкой $x = 6$, а сам отрезок не пересекает луч $(-\infty, -2]$.
$a - 3 = 6 \implies a = 9$.
При $a = 9$ второе неравенство дает отрезок $[6, 12]$. Пересечение с множеством $(-\infty, -2] \cup [6, \infty)$ — это точка $x = 6$. Условие выполняется.
Ответ: $a = -5, a = 9$.

б) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - 4x - 12 \le 0 \\ |x - a| \le 3 \end{cases} $$ Решение первого неравенства $x^2 - 4x - 12 \le 0$.
Корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 6$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in [-2, 6]$.
Решение второго неравенства $|x - a| \le 3$ — это отрезок $[a - 3, a + 3]$.
Система имеет единственное решение, если пересечение двух отрезков $[-2, 6]$ и $[a - 3, a + 3]$ является одной точкой.
Пересечение двух отрезков — одна точка, если конец одного отрезка совпадает с концом другого.
1. Правый конец отрезка $[a - 3, a + 3]$ совпадает с левым концом отрезка $[-2, 6]$.
$a + 3 = -2 \implies a = -5$.
При $a = -5$ имеем отрезки $[-8, -2]$ и $[-2, 6]$. Их пересечение — точка $x = -2$.
2. Левый конец отрезка $[a - 3, a + 3]$ совпадает с правым концом отрезка $[-2, 6]$.
$a - 3 = 6 \implies a = 9$.
При $a = 9$ имеем отрезки $[6, 12]$ и $[-2, 6]$. Их пересечение — точка $x = 6$.
Ответ: $a = -5, a = 9$.

в) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - (a + 3)x + 3a \le 0 \\ |x - 4| \ge 2 \end{cases} $$ Решим второе неравенство $|x - 4| \ge 2$.
Оно равносильно совокупности $x - 4 \ge 2$ или $x - 4 \le -2$.
Отсюда $x \ge 6$ или $x \le 2$.
Решением является множество $(-\infty, 2] \cup [6, \infty)$.
Теперь решим первое неравенство $x^2 - (a + 3)x + 3a \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - (a + 3)x + 3a = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $a+3$, а произведение $3a$. Легко видеть, что корни это $x_1 = 3$ и $x_2 = a$.
Решение неравенства зависит от взаимного расположения $a$ и $3$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение — это отрезок между корнями.
1. Если $a < 3$, то решением является отрезок $[a, 3]$.
Пересечение $[a, 3]$ и $(-\infty, 2] \cup [6, \infty)$ должно быть одной точкой. Пересечение с лучом $[6, \infty)$ пусто. Пересечение с лучом $(-\infty, 2]$ — это $[a, 2]$ (при $a \le 2$). Это множество будет одной точкой, если $a = 2$. При $a = 2$ решение системы — $x=2$.
2. Если $a = 3$, то неравенство принимает вид $(x-3)^2 \le 0$, что имеет единственное решение $x = 3$. Однако $x = 3$ не принадлежит множеству $(-\infty, 2] \cup [6, \infty)$, поэтому система решений не имеет.
3. Если $a > 3$, то решением является отрезок $[3, a]$.
Пересечение $[3, a]$ и $(-\infty, 2] \cup [6, \infty)$ должно быть одной точкой. Пересечение с лучом $(-\infty, 2]$ пусто. Пересечение с лучом $[6, \infty)$ — это $[6, a]$ (при $a \ge 6$). Это множество будет одной точкой, если $a = 6$. При $a = 6$ решение системы — $x=6$.
Ответ: $a = 2, a = 6$.

г) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - (a + 1)x + a \ge 0 \\ |x - 4| \le 2 \end{cases} $$ Решим второе неравенство $|x - 4| \le 2$.
$-2 \le x - 4 \le 2 \implies 2 \le x \le 6$.
Решением является отрезок $[2, 6]$.
Теперь решим первое неравенство $x^2 - (a + 1)x + a \ge 0$.
Корни уравнения $x^2 - (a + 1)x + a = 0$ — это $x_1 = 1$ и $x_2 = a$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства — это объединение лучей за пределами корней.
1. Если $a < 1$, то решение — $x \in (-\infty, a] \cup [1, \infty)$.
Пересечение этого множества с отрезком $[2, 6]$ дает $((-\infty, a] \cup [1, \infty)) \cap [2, 6] = [2, 6]$. Это отрезок, а не точка.
2. Если $a = 1$, то неравенство $(x-1)^2 \ge 0$ верно для всех $x$. Решение — $x \in (-\infty, \infty)$.
Пересечение с отрезком $[2, 6]$ дает $[2, 6]$. Это отрезок, а не точка.
3. Если $a > 1$, то решение — $x \in (-\infty, 1] \cup [a, \infty)$.
Ищем пересечение множества $(-\infty, 1] \cup [a, \infty)$ с отрезком $[2, 6]$.
Пересечение $(-\infty, 1]$ с $[2, 6]$ пусто.
Остается найти пересечение $[a, \infty)$ с $[2, 6]$.
- Если $1 < a \le 2$, пересечение — $[2, 6]$.
- Если $2 < a < 6$, пересечение — $[a, 6]$.
- Если $a = 6$, пересечение — $\{6\}$. Это единственное решение.
- Если $a > 6$, пересечение пусто.
Единственное решение система имеет только при $a=6$.
Ответ: $a = 6$.