Страница 92 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

ИССЛЕДУЕМ (2.101—2.107):

2.101* При каких значениях a система неравенств:

а) $ \begin{cases} x^2 - 4x - 12 \ge 0 \\ |x - a| \le 3; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x^2 - 4x - 12 \le 0 \\ |x - a| \le 3; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x^2 - (a + 3)x + 3a \le 0 \\ |x - 4| \ge 2; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x^2 - (a + 1)x + a \ge 0 \\ |x - 4| \le 2 \end{cases} $

имеет единственное решение?

a) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - 4x - 12 \ge 0 \\ |x - a| \le 3 \end{cases} $$ Сначала решим первое неравенство $x^2 - 4x - 12 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 6$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - 4x - 12$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [6, \infty)$.
Теперь решим второе неравенство $|x - a| \le 3$.
Оно равносильно двойному неравенству $-3 \le x - a \le 3$.
Прибавив $a$ ко всем частям, получим $a - 3 \le x \le a + 3$.
Решением является отрезок $[a - 3, a + 3]$ длиной 6.
Система будет иметь единственное решение, если пересечение множеств $(-\infty, -2] \cup [6, \infty)$ и $[a - 3, a + 3]$ состоит из одной точки.
Это возможно только в двух случаях:
1. Правый конец отрезка $[a - 3, a + 3]$ совпадает с точкой $x = -2$, а сам отрезок не пересекает луч $[6, \infty)$.
$a + 3 = -2 \implies a = -5$.
При $a = -5$ второе неравенство дает отрезок $[-8, -2]$. Пересечение с множеством $(-\infty, -2] \cup [6, \infty)$ — это точка $x = -2$. Условие выполняется.
2. Левый конец отрезка $[a - 3, a + 3]$ совпадает с точкой $x = 6$, а сам отрезок не пересекает луч $(-\infty, -2]$.
$a - 3 = 6 \implies a = 9$.
При $a = 9$ второе неравенство дает отрезок $[6, 12]$. Пересечение с множеством $(-\infty, -2] \cup [6, \infty)$ — это точка $x = 6$. Условие выполняется.
Ответ: $a = -5, a = 9$.

б) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - 4x - 12 \le 0 \\ |x - a| \le 3 \end{cases} $$ Решение первого неравенства $x^2 - 4x - 12 \le 0$.
Корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 6$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in [-2, 6]$.
Решение второго неравенства $|x - a| \le 3$ — это отрезок $[a - 3, a + 3]$.
Система имеет единственное решение, если пересечение двух отрезков $[-2, 6]$ и $[a - 3, a + 3]$ является одной точкой.
Пересечение двух отрезков — одна точка, если конец одного отрезка совпадает с концом другого.
1. Правый конец отрезка $[a - 3, a + 3]$ совпадает с левым концом отрезка $[-2, 6]$.
$a + 3 = -2 \implies a = -5$.
При $a = -5$ имеем отрезки $[-8, -2]$ и $[-2, 6]$. Их пересечение — точка $x = -2$.
2. Левый конец отрезка $[a - 3, a + 3]$ совпадает с правым концом отрезка $[-2, 6]$.
$a - 3 = 6 \implies a = 9$.
При $a = 9$ имеем отрезки $[6, 12]$ и $[-2, 6]$. Их пересечение — точка $x = 6$.
Ответ: $a = -5, a = 9$.

в) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - (a + 3)x + 3a \le 0 \\ |x - 4| \ge 2 \end{cases} $$ Решим второе неравенство $|x - 4| \ge 2$.
Оно равносильно совокупности $x - 4 \ge 2$ или $x - 4 \le -2$.
Отсюда $x \ge 6$ или $x \le 2$.
Решением является множество $(-\infty, 2] \cup [6, \infty)$.
Теперь решим первое неравенство $x^2 - (a + 3)x + 3a \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - (a + 3)x + 3a = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $a+3$, а произведение $3a$. Легко видеть, что корни это $x_1 = 3$ и $x_2 = a$.
Решение неравенства зависит от взаимного расположения $a$ и $3$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение — это отрезок между корнями.
1. Если $a < 3$, то решением является отрезок $[a, 3]$.
Пересечение $[a, 3]$ и $(-\infty, 2] \cup [6, \infty)$ должно быть одной точкой. Пересечение с лучом $[6, \infty)$ пусто. Пересечение с лучом $(-\infty, 2]$ — это $[a, 2]$ (при $a \le 2$). Это множество будет одной точкой, если $a = 2$. При $a = 2$ решение системы — $x=2$.
2. Если $a = 3$, то неравенство принимает вид $(x-3)^2 \le 0$, что имеет единственное решение $x = 3$. Однако $x = 3$ не принадлежит множеству $(-\infty, 2] \cup [6, \infty)$, поэтому система решений не имеет.
3. Если $a > 3$, то решением является отрезок $[3, a]$.
Пересечение $[3, a]$ и $(-\infty, 2] \cup [6, \infty)$ должно быть одной точкой. Пересечение с лучом $(-\infty, 2]$ пусто. Пересечение с лучом $[6, \infty)$ — это $[6, a]$ (при $a \ge 6$). Это множество будет одной точкой, если $a = 6$. При $a = 6$ решение системы — $x=6$.
Ответ: $a = 2, a = 6$.

г) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - (a + 1)x + a \ge 0 \\ |x - 4| \le 2 \end{cases} $$ Решим второе неравенство $|x - 4| \le 2$.
$-2 \le x - 4 \le 2 \implies 2 \le x \le 6$.
Решением является отрезок $[2, 6]$.
Теперь решим первое неравенство $x^2 - (a + 1)x + a \ge 0$.
Корни уравнения $x^2 - (a + 1)x + a = 0$ — это $x_1 = 1$ и $x_2 = a$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства — это объединение лучей за пределами корней.
1. Если $a < 1$, то решение — $x \in (-\infty, a] \cup [1, \infty)$.
Пересечение этого множества с отрезком $[2, 6]$ дает $((-\infty, a] \cup [1, \infty)) \cap [2, 6] = [2, 6]$. Это отрезок, а не точка.
2. Если $a = 1$, то неравенство $(x-1)^2 \ge 0$ верно для всех $x$. Решение — $x \in (-\infty, \infty)$.
Пересечение с отрезком $[2, 6]$ дает $[2, 6]$. Это отрезок, а не точка.
3. Если $a > 1$, то решение — $x \in (-\infty, 1] \cup [a, \infty)$.
Ищем пересечение множества $(-\infty, 1] \cup [a, \infty)$ с отрезком $[2, 6]$.
Пересечение $(-\infty, 1]$ с $[2, 6]$ пусто.
Остается найти пересечение $[a, \infty)$ с $[2, 6]$.
- Если $1 < a \le 2$, пересечение — $[2, 6]$.
- Если $2 < a < 6$, пересечение — $[a, 6]$.
- Если $a = 6$, пересечение — $\{6\}$. Это единственное решение.
- Если $a > 6$, пересечение пусто.
Единственное решение система имеет только при $a=6$.
Ответ: $a = 6$.

2.102* При каких значениях $a$ система неравенств:

$$\begin{cases} x^2 - 8x + 15 \ge 0 \\ x^2 - (a + 4)x + 4a \le 0 \end{cases}$$

a) имеет единственное решение;

б) не имеет решений;

в) имеет бесконечно много решений?

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 8x + 15 \ge 0 \\ x^2 - (a + 4)x + 4a \le 0 \end{cases} $

Для решения задачи проанализируем каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 8x + 15 \ge 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Парабола $y = x^2 - 8x + 15$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 - 8x + 15 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Таким образом, множество решений первого неравенства: $x \in (-\infty, 3] \cup [5, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - (a + 4)x + 4a \le 0$.

Это квадратное неравенство с параметром $a$. Найдем корни уравнения $x^2 - (a + 4)x + 4a = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $a+4$, а их произведение равно $4a$. Легко видеть, что корнями являются $x_1 = 4$ и $x_2 = a$.

Парабола $y = x^2 - (a + 4)x + 4a$ также имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 - (a + 4)x + 4a \le 0$ выполняется, когда $x$ находится между корнями.

Рассмотрим три случая в зависимости от соотношения между корнями $4$ и $a$:

• Если $a < 4$, то решением неравенства является отрезок $x \in [a, 4]$.
• Если $a = 4$, то неравенство принимает вид $(x-4)^2 \le 0$, что верно только при $x = 4$. Решение — единственная точка $x=4$.
• Если $a > 4$, то решением неравенства является отрезок $x \in [4, a]$.

Решением исходной системы является пересечение множеств решений первого и второго неравенств. Обозначим множество решений первого неравенства как $M_1 = (-\infty, 3] \cup [5, \infty)$, а второго — как $M_2$.

а) имеет единственное решение;

Система имеет единственное решение, если пересечение множеств $M_1$ и $M_2$ состоит из одной точки. Это возможно, если отрезок $M_2$ "касается" одного из лучей множества $M_1$ в его начальной точке.

Рассмотрим случаи:

1. Если $a < 4$, то $M_2 = [a, 4]$. Пересечение $M_1 \cap M_2$ — это пересечение отрезка $[a, 4]$ с множеством $(-\infty, 3] \cup [5, \infty)$. Поскольку $4 < 5$, пересечение с лучом $[5, \infty)$ пустое. Значит, ищем пересечение $[a, 4] \cap (-\infty, 3]$. Это пересечение будет состоять из одной точки, только если $a = 3$. В этом случае $M_2 = [3, 4]$, а пересечение $M_1 \cap M_2 = \{3\}$. Таким образом, при $a=3$ система имеет единственное решение $x=3$.

2. Если $a = 4$, то $M_2 = \{4\}$. Точка $x=4$ не принадлежит множеству $M_1$, так как $3 < 4 < 5$. Пересечение пустое, решений нет.

3. Если $a > 4$, то $M_2 = [4, a]$. Пересечение $M_1 \cap M_2$ — это пересечение отрезка $[4, a]$ с множеством $(-\infty, 3] \cup [5, \infty)$. Поскольку $4 > 3$, пересечение с лучом $(-\infty, 3]$ пустое. Ищем пересечение $[4, a] \cap [5, \infty)$. Это пересечение будет состоять из одной точки, только если $a=5$. В этом случае $M_2 = [4, 5]$, а пересечение $M_1 \cap M_2 = \{5\}$. Таким образом, при $a=5$ система имеет единственное решение $x=5$.

Ответ: $a=3, a=5$.

б) не имеет решений;

Система не имеет решений, если пересечение множеств $M_1$ и $M_2$ пусто. Это происходит, когда множество $M_2$ целиком попадает в "промежуток" $(3, 5)$ множества $M_1$.

Рассмотрим случаи:

1. Если $a < 4$, то $M_2 = [a, 4]$. Пересечение с $M_1$ пусто, если отрезок $[a, 4]$ не пересекается с $(-\infty, 3]$. Это произойдет, если $a > 3$. Таким образом, при $3 < a < 4$ решений нет.

2. Если $a = 4$, то $M_2 = \{4\}$. Как мы уже выяснили, точка $x=4$ не входит в $M_1$, поэтому решений нет.

3. Если $a > 4$, то $M_2 = [4, a]$. Пересечение с $M_1$ пусто, если отрезок $[4, a]$ не пересекается с $[5, \infty)$. Это произойдет, если $a < 5$. Таким образом, при $4 < a < 5$ решений нет.

Объединяя все эти случаи, получаем, что система не имеет решений, когда $a$ принадлежит интервалу $(3, 5)$.

Ответ: $a \in (3, 5)$.

в) имеет бесконечно много решений?

Система имеет бесконечно много решений, если пересечение множеств $M_1$ и $M_2$ является отрезком ненулевой длины.

Рассмотрим случаи:

1. Если $a < 4$, то $M_2 = [a, 4]$. Пересечение $M_1 \cap M_2$ — это отрезок $[a, 3]$. Этот отрезок имеет ненулевую длину, если $a < 3$. В этом случае множество решений — $[a, 3]$.

2. Если $a = 4$, решений нет.

3. Если $a > 4$, то $M_2 = [4, a]$. Пересечение $M_1 \cap M_2$ — это отрезок $[5, a]$. Этот отрезок имеет ненулевую длину, если $a > 5$. В этом случае множество решений — $[5, a]$.

Следовательно, система имеет бесконечно много решений при $a < 3$ или при $a > 5$.

Ответ: $a \in (-\infty, 3) \cup (5, \infty)$.

2.103* При каких значениях a система неравенств:

$$\begin{cases}x^2 - x - 6 \ge 0 \\x^2 - (a + 5)x + 5a \le 0\end{cases}$$

а) имеет единственное решение;

б) не имеет решений;

в) имеет бесконечно много решений?

Рассмотрим данную систему неравенств:

$$\begin{cases}x^2 - x - 6 \ge 0 \\x^2 - (a + 5)x + 5a \le 0\end{cases}$$

Сначала решим первое неравенство: $x^2 - x - 6 \ge 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.

Неравенство можно записать в виде $(x+2)(x-3) \ge 0$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями. Таким образом, множество решений первого неравенства: $M_1 = (-\infty, -2] \cup [3, \infty)$.

Теперь решим второе неравенство: $x^2 - (a + 5)x + 5a \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - (a + 5)x + 5a = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $a+5$, а их произведение равно $5a$. Легко видеть, что корнями являются $x_1 = a$ и $x_2 = 5$.

Неравенство можно записать в виде $(x-a)(x-5) \le 0$.

Это также парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $x$ находится между корнями (включая сами корни). Множество решений второго неравенства, $M_2$, зависит от соотношения $a$ и $5$:

• Если $a < 5$, то $M_2 = [a, 5]$.
• Если $a = 5$, то неравенство принимает вид $(x-5)^2 \le 0$, что имеет единственное решение $x=5$. Таким образом, $M_2 = \{5\}$.
• Если $a > 5$, то $M_2 = [5, a]$.

Решением системы является пересечение множеств $M = M_1 \cap M_2$.

Заметим важный факт: при любом значении параметра $a$ число $x=5$ является решением второго неравенства, так как $(5-a)(5-5) = 0 \le 0$. Проверим, является ли $x=5$ решением первого неравенства: $5^2 - 5 - 6 = 25 - 11 = 14 \ge 0$. Да, является. Следовательно, $x=5$ является решением системы при любом значении $a$. Это означает, что у системы всегда есть хотя бы одно решение.

а) имеет единственное решение

Как мы установили, $x=5$ всегда является решением системы. Чтобы это решение было единственным, никакое другое число $x \ne 5$ не должно быть решением системы.

Рассмотрим различные случаи для $a$:

1. Пусть $a = 5$. Тогда множество решений второго неравенства $M_2 = \{5\}$. Пересечение $M = M_1 \cap M_2 = ((-\infty, -2] \cup [3, \infty)) \cap \{5\}$. Так как $5 \in [3, \infty)$, то $M = \{5\}$. В этом случае система имеет единственное решение.
2. Пусть $a < 5$. Тогда $M_2 = [a, 5]$. Решение системы $M = M_1 \cap [a, 5]$. Поскольку $a < 5$, интервал $[a, 5]$ содержит не только точку $5$, но и точки, близкие к ней. Например, интервал $(3, 5)$ целиком лежит в $M_1$. Пересечение $[a, 5] \cap [3, \infty)$ дает интервал $[\max(a, 3), 5]$. Так как $a < 5$, этот интервал не пуст и не является одной точкой, а значит содержит бесконечно много решений.
3. Пусть $a > 5$. Тогда $M_2 = [5, a]$. Решение системы $M = M_1 \cap [5, a]$. Так как $a > 5$ и весь интервал $[5, a]$ принадлежит множеству $M_1 = (-\infty, -2] \cup [3, \infty)$, то $M = [5, a]$. Этот интервал содержит бесконечно много решений.

Таким образом, система имеет единственное решение только при $a=5$.

Ответ: $a = 5$.

б) не имеет решений

Как было показано ранее, $x=5$ является решением системы неравенств при любом значении параметра $a$. Следовательно, множество решений системы никогда не бывает пустым.

Ответ: таких значений $a$ не существует.

в) имеет бесконечно много решений

Система будет иметь бесконечно много решений во всех случаях, кроме тех, когда она имеет единственное решение или не имеет решений. Так как случаев, когда решений нет, не существует, а единственное решение имеется только при $a=5$, то при всех остальных значениях $a$ система будет иметь бесконечно много решений.

Проверим это:

• Если $a < 5$, то $M_2 = [a, 5]$. Пересечение $M_1 \cap M_2$ содержит отрезок $[\max(a, 3), 5]$, который состоит из бесконечного числа точек.
• Если $a > 5$, то $M_2 = [5, a]$. Пересечение $M_1 \cap M_2$ равно отрезку $[5, a]$, который также состоит из бесконечного числа точек.

Следовательно, система имеет бесконечно много решений при всех $a \ne 5$.

Ответ: $a \in (-\infty, 5) \cup (5, \infty)$.

2.104* Решите уравнение:

а) $|x^2 - 4x + 3| + |-x^2 + 5x - 4| = x - 1;$

б) $|x^2 - 5x + 6| + |-x^2 + 4x - 3| = 3 - x;$

в) $|x^2 - 10x + 24| + |x^2 - 9x + 20| = -x + 4;$

г) $|x^2 + 5x - 24| + |x^2 - 9x + 8| = 14x - 32;$

д) $\left|\frac{x}{x+1} - 3x\right| + \left|\frac{x}{x+1} + 2\right| = 3x + 2;$

е) $\left|\frac{x}{2x-5} + x\right| + \left|\frac{x}{2x-5} - 1\right| = x + 1.$

а) $|x^2 - 4x + 3| + |-x^2 + 5x - 4| = x - 1$

Преобразуем выражение во втором модуле, используя свойство $|-a|=|a|$: $|-x^2 + 5x - 4| = |-(x^2 - 5x + 4)| = |x^2 - 5x + 4|$. Уравнение принимает вид: $|x^2 - 4x + 3| + |x^2 - 5x + 4| = x - 1$.

Обозначим $f(x) = x^2 - 4x + 3$ и $g(x) = x^2 - 5x + 4$. Заметим, что разность этих функций равна правой части уравнения: $f(x) - g(x) = (x^2 - 4x + 3) - (x^2 - 5x + 4) = x^2 - 4x + 3 - x^2 + 5x - 4 = x - 1$.

Таким образом, исходное уравнение можно записать в виде $|f(x)| + |g(x)| = f(x) - g(x)$. Это равенство, основанное на свойстве модуля $|a| + |b| = a - b$, является верным тогда и только тогда, когда $f(x) \ge 0$ и $g(x) \le 0$.

Решим соответствующую систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - 4x + 3 \ge 0 \\ x^2 - 5x + 4 \le 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 4x + 3 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1, x_2 = 3$. Неравенство можно записать как $(x-1)(x-3) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 5x + 4 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1, x_2 = 4$. Неравенство можно записать как $(x-1)(x-4) \le 0$. Решением является $x \in [1, 4]$.

Найдем пересечение полученных решений: $((-\infty, 1] \cup [3, \infty)) \cap [1, 4]$. Пересечение этих множеств есть $\{1\} \cup [3, 4]$.

Ответ: $x \in \{1\} \cup [3, 4]$.

б) $|x^2 - 5x + 6| + |-x^2 + 4x - 3| = 3 - x$

Преобразуем выражение во втором модуле: $|-x^2 + 4x - 3| = |-(x^2 - 4x + 3)| = |x^2 - 4x + 3|$. Уравнение принимает вид: $|x^2 - 5x + 6| + |x^2 - 4x + 3| = 3 - x$.

Обозначим $f(x) = x^2 - 5x + 6$ и $g(x) = x^2 - 4x + 3$. Заметим, что $f(x) - g(x) = (x^2 - 5x + 6) - (x^2 - 4x + 3) = -x + 3 = 3 - x$.

Уравнение имеет вид $|f(x)| + |g(x)| = f(x) - g(x)$. Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда $f(x) \ge 0$ и $g(x) \le 0$.

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - 5x + 6 \ge 0 \\ x^2 - 4x + 3 \le 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 5x + 6 \ge 0 \implies (x-2)(x-3) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 4x + 3 \le 0 \implies (x-1)(x-3) \le 0$. Решением является $x \in [1, 3]$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty, 2] \cup [3, \infty)) \cap [1, 3]$. Пересечением является множество $[1, 2] \cup \{3\}$.

Ответ: $x \in [1, 2] \cup \{3\}$.

в) $|x^2 - 10x + 24| + |x^2 - 9x + 20| = -x + 4$

Обозначим $f(x) = x^2 - 10x + 24$ и $g(x) = x^2 - 9x + 20$. Заметим, что $f(x) - g(x) = (x^2 - 10x + 24) - (x^2 - 9x + 20) = -x + 4$.

Уравнение имеет вид $|f(x)| + |g(x)| = f(x) - g(x)$. Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда $f(x) \ge 0$ и $g(x) \le 0$.

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - 10x + 24 \ge 0 \\ x^2 - 9x + 20 \le 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 10x + 24 \ge 0 \implies (x-4)(x-6) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty, 4] \cup [6, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 9x + 20 \le 0 \implies (x-4)(x-5) \le 0$. Решением является $x \in [4, 5]$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty, 4] \cup [6, \infty)) \cap [4, 5]$. Пересечением является единственная точка $x=4$.

Ответ: $x = 4$.

г) $|x^2 + 5x - 24| + |x^2 - 9x + 8| = 14x - 32$

Обозначим $f(x) = x^2 + 5x - 24$ и $g(x) = x^2 - 9x + 8$. Заметим, что $f(x) - g(x) = (x^2 + 5x - 24) - (x^2 - 9x + 8) = 14x - 32$.

Уравнение имеет вид $|f(x)| + |g(x)| = f(x) - g(x)$, что равносильно системе $f(x) \ge 0$ и $g(x) \le 0$.

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + 5x - 24 \ge 0 \\ x^2 - 9x + 8 \le 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 + 5x - 24 \ge 0 \implies (x+8)(x-3) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty, -8] \cup [3, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 9x + 8 \le 0 \implies (x-1)(x-8) \le 0$. Решением является $x \in [1, 8]$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty, -8] \cup [3, \infty)) \cap [1, 8]$. Пересечением является отрезок $[3, 8]$.

Ответ: $x \in [3, 8]$.

д) $|\frac{x}{x+1} - 3x| + |\frac{x}{x+1} + 2| = 3x + 2$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$. Обозначим $f(x) = \frac{x}{x+1} - 3x$ и $g(x) = \frac{x}{x+1} + 2$. Заметим, что $g(x) - f(x) = (\frac{x}{x+1} + 2) - (\frac{x}{x+1} - 3x) = 2 + 3x$.

Уравнение имеет вид $|f(x)| + |g(x)| = g(x) - f(x)$, что равносильно $|f(x)| + |g(x)| = -(f(x) - g(x))$. Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда $f(x) \le 0$ и $g(x) \ge 0$.

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{x}{x+1} - 3x \le 0 \\ \frac{x}{x+1} + 2 \ge 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $\frac{x - 3x(x+1)}{x+1} \le 0 \implies \frac{-3x^2-2x}{x+1} \le 0 \implies \frac{-x(3x+2)}{x+1} \le 0 \implies \frac{x(3x+2)}{x+1} \ge 0$. Методом интервалов находим решение: $x \in (-1, -2/3] \cup [0, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{x+2(x+1)}{x+1} \ge 0 \implies \frac{3x+2}{x+1} \ge 0$. Методом интервалов находим решение: $x \in (-\infty, -1) \cup [-2/3, \infty)$.

Найдем пересечение решений с учетом ОДЗ: $((-1, -2/3] \cup [0, \infty)) \cap ((-\infty, -1) \cup [-2/3, \infty))$. Пересечением является множество $\{-2/3\} \cup [0, \infty)$.

Ответ: $x \in \{-2/3\} \cup [0, \infty)$.

е) $|\frac{x}{2x-5} + x| + |\frac{x}{2x-5} - 1| = x + 1$

ОДЗ: $2x-5 \neq 0 \implies x \neq 5/2$. Обозначим $f(x) = \frac{x}{2x-5} + x$ и $g(x) = \frac{x}{2x-5} - 1$. Заметим, что $f(x) - g(x) = (\frac{x}{2x-5} + x) - (\frac{x}{2x-5} - 1) = x+1$.

Уравнение имеет вид $|f(x)| + |g(x)| = f(x) - g(x)$. Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда $f(x) \ge 0$ и $g(x) \le 0$.

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{x}{2x-5} + x \ge 0 \\ \frac{x}{2x-5} - 1 \le 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $\frac{x+x(2x-5)}{2x-5} \ge 0 \implies \frac{2x^2-4x}{2x-5} \ge 0 \implies \frac{2x(x-2)}{2x-5} \ge 0$. Методом интервалов находим решение: $x \in [0, 2] \cup (5/2, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{x-(2x-5)}{2x-5} \le 0 \implies \frac{-x+5}{2x-5} \le 0$. Методом интервалов находим решение: $x \in (-\infty, 5/2) \cup [5, \infty)$.

Найдем пересечение решений с учетом ОДЗ: $([0, 2] \cup (5/2, \infty)) \cap ((-\infty, 5/2) \cup [5, \infty))$. Пересечением является множество $[0, 2] \cup [5, \infty)$.

Ответ: $x \in [0, 2] \cup [5, \infty)$.

2.105* Докажите, что не имеет решений уравнение:

a) $\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{1 - x^2} = 1 + x;$

б) $\sqrt{x^2 - 9} + \sqrt{4 - x^2} = 2 - x;$

в) $\sqrt{x^2 + 2x - 8} + \sqrt{-x^2 + 3x - 2} = 3 - x;$

г) $\sqrt{x^2 - 6x + 5} + \sqrt{-x^2 + 7x - 12} = 4 + x.$

Рассмотрим уравнение $\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{1 - x^2} = 1 + x$.

Для того чтобы уравнение имело смысл, должны выполняться условия, определяющие область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 4 \ge 0 \\ 1 - x^2 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно:

1. $x^2 - 4 \ge 0 \implies x^2 \ge 4 \implies x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.

2. $1 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 1 \implies x \in [-1, 1]$.

Область допустимых значений является пересечением этих двух множеств: $((-\infty, -2] \cup [2, +\infty)) \cap [-1, 1]$. Данное пересечение является пустым множеством, так как нет чисел, которые одновременно удовлетворяли бы обоим условиям.

Поскольку ОДЗ уравнения пусто, уравнение не имеет решений.

Ответ: уравнение не имеет решений.

Рассмотрим уравнение $\sqrt{x^2 - 9} + \sqrt{4 - x^2} = 2 - x$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x^2 - 9 \ge 0 \\ 4 - x^2 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $x^2 - 9 \ge 0 \implies x^2 \ge 9 \implies x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$.

2. $4 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 4 \implies x \in [-2, 2]$.

Пересечение этих двух множеств, $((-\infty, -3] \cup [3, +\infty)) \cap [-2, 2]$, является пустым множеством. Нет таких значений $x$, которые бы принадлежали обоим интервалам одновременно.

Так как область допустимых значений пуста, уравнение не может иметь решений.

Ответ: уравнение не имеет решений.

Рассмотрим уравнение $\sqrt{x^2 + 2x - 8} + \sqrt{-x^2 + 3x - 2} = 3 - x$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 2x - 8 \ge 0 \\ -x^2 + 3x - 2 \ge 0 \end{cases}$

1. Для $x^2 + 2x - 8 \ge 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -4] \cup [2, +\infty)$.

2. Для $-x^2 + 3x - 2 \ge 0$, что эквивалентно $x^2 - 3x + 2 \le 0$. Найдем корни трехчлена $x^2 - 3x + 2 = 0$. Корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $x^2 - 3x + 2 \le 0$ выполняется при $x \in [1, 2]$.

Область допустимых значений — это пересечение множеств $(-\infty, -4] \cup [2, +\infty)$ и $[1, 2]$. Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, — это $x = 2$.

Таким образом, если у уравнения и есть решение, то им может быть только $x = 2$. Проверим это, подставив значение в исходное уравнение:

Левая часть: $\sqrt{2^2 + 2 \cdot 2 - 8} + \sqrt{-2^2 + 3 \cdot 2 - 2} = \sqrt{4 + 4 - 8} + \sqrt{-4 + 6 - 2} = \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0$.

Правая часть: $3 - x = 3 - 2 = 1$.

Получаем равенство $0 = 1$, которое является ложным. Следовательно, $x=2$ не является корнем уравнения.

Поскольку единственное возможное значение из ОДЗ не является решением, уравнение не имеет решений.

Ответ: уравнение не имеет решений.

Рассмотрим уравнение $\sqrt{x^2 - 6x + 5} + \sqrt{-x^2 + 7x - 12} = 4 + x$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 6x + 5 \ge 0 \\ -x^2 + 7x - 12 \ge 0 \end{cases}$

1. Для $x^2 - 6x + 5 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [5, +\infty)$.

2. Для $-x^2 + 7x - 12 \ge 0$, что эквивалентно $x^2 - 7x + 12 \le 0$. Корни уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 7x + 12 \le 0$ выполняется при $x \in [3, 4]$.

Областью допустимых значений является пересечение множеств $((-\infty, 1] \cup [5, +\infty))$ и $[3, 4]$. Эти множества не пересекаются, следовательно, их пересечение — пустое множество.

Поскольку ОДЗ уравнения пусто, уравнение не имеет решений.

Ответ: уравнение не имеет решений.

2.106* Решите уравнение:

a) $\sqrt{x^2 - 7x + 6} + \sqrt{-x^2 + 6x - 5} = |x| - 1;$

б) $\sqrt{x^2 - 4x + 3} + \sqrt{-x^2 + 5x - 6} = 3 - |x|.$

а) $\sqrt{x^2 - 7x + 6} + \sqrt{-x^2 + 6x - 5} = |x| - 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x^2 - 7x + 6 \ge 0 \\ -x^2 + 6x - 5 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 7x + 6 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 7x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 6$.

Парабола $y = x^2 - 7x + 6$ ветвями вверх, следовательно, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [6, \infty)$.

Решим второе неравенство: $-x^2 + 6x - 5 \ge 0$. Умножим на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 6x + 5 \le 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Парабола $y = x^2 - 6x + 5$ ветвями вверх, следовательно, неравенство выполняется при $x \in [1, 5]$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств решений, чтобы определить ОДЗ:

$((-\infty, 1] \cup [6, \infty)) \cap [1, 5]$

Пересечением этих двух множеств является единственное число $x = 1$.

Таким образом, ОДЗ уравнения состоит из одного значения: $x = 1$.

Подставим это значение в исходное уравнение, чтобы проверить, является ли оно корнем:

$\sqrt{1^2 - 7 \cdot 1 + 6} + \sqrt{-1^2 + 6 \cdot 1 - 5} = |1| - 1$

$\sqrt{1 - 7 + 6} + \sqrt{-1 + 6 - 5} = 1 - 1$

$\sqrt{0} + \sqrt{0} = 0$

$0 = 0$

Равенство верное, следовательно, $x = 1$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $1$.

б) $\sqrt{x^2 - 4x + 3} + \sqrt{-x^2 + 5x - 6} = 3 - |x|$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x^2 - 4x + 3 \ge 0 \\ -x^2 + 5x - 6 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 4x + 3 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - 4x + 3$ ветвями вверх, следовательно, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty)$.

Решим второе неравенство: $-x^2 + 5x - 6 \ge 0$. Умножим на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 5x + 6 \le 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - 5x + 6$ ветвями вверх, следовательно, неравенство выполняется при $x \in [2, 3]$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств решений, чтобы определить ОДЗ:

$((-\infty, 1] \cup [3, \infty)) \cap [2, 3]$

Пересечением этих двух множеств является единственное число $x = 3$.

Таким образом, ОДЗ уравнения состоит из одного значения: $x = 3$.

Подставим это значение в исходное уравнение, чтобы проверить, является ли оно корнем:

$\sqrt{3^2 - 4 \cdot 3 + 3} + \sqrt{-3^2 + 5 \cdot 3 - 6} = 3 - |3|$

$\sqrt{9 - 12 + 3} + \sqrt{-9 + 15 - 6} = 3 - 3$

$\sqrt{0} + \sqrt{0} = 0$

$0 = 0$

Равенство верное, следовательно, $x = 3$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $3$.

2.107* Решите неравенство:

a) $\sqrt{x^2 + x - 12} + \sqrt{-x^2 + x + 6} \ge 9 - x^2$;

б) $\sqrt{x^2 - x - 12} + \sqrt{-x^2 - x + 6} \le x^2 - 9.$

a)

Решим неравенство $ \sqrt{x^2 + x - 12} + \sqrt{-x^2 + x + 6} \ge 9 - x^2 $.

В первую очередь найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + x - 12 \ge 0 \\ -x^2 + x + 6 \ge 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ x^2 + x - 12 \ge 0 $.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $ x^2 + x - 12 = 0 $. Используя теорему Виета, получаем корни $ x_1 = -4 $ и $ x_2 = 3 $. Парабола $ y = x^2 + x - 12 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $ x^2 + x - 12 \ge 0 $ выполняется при $ x \in (-\infty; -4] \cup [3; +\infty) $.

2. Решим второе неравенство: $ -x^2 + x + 6 \ge 0 $.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $ x^2 - x - 6 \le 0 $. Найдем корни уравнения $ x^2 - x - 6 = 0 $. Используя теорему Виета, получаем корни $ x_1 = -2 $ и $ x_2 = 3 $. Парабола $ y = x^2 - x - 6 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $ x^2 - x - 6 \le 0 $ выполняется при $ x \in [-2; 3] $.

3. Найдем ОДЗ как пересечение полученных множеств: $ ((-\infty; -4] \cup [3; +\infty)) \cap [-2; 3] $. Пересечением этих двух множеств является единственная точка $ x = 3 $.

Таким образом, область допустимых значений состоит из одного числа. Подставим $ x = 3 $ в исходное неравенство, чтобы проверить, является ли оно решением:

$ \sqrt{3^2 + 3 - 12} + \sqrt{-3^2 + 3 + 6} \ge 9 - 3^2 $

$ \sqrt{9 + 3 - 12} + \sqrt{-9 + 3 + 6} \ge 9 - 9 $

$ \sqrt{0} + \sqrt{0} \ge 0 $

$ 0 \ge 0 $

Полученное неравенство верно. Следовательно, $ x = 3 $ является единственным решением.

Ответ: $ \{3\} $.

б)

Решим неравенство $ \sqrt{x^2 - x - 12} + \sqrt{-x^2 - x + 6} \le x^2 - 9 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - x - 12 \ge 0 \\ -x^2 - x + 6 \ge 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ x^2 - x - 12 \ge 0 $.
Корни уравнения $ x^2 - x - 12 = 0 $ равны $ x_1 = -3 $ и $ x_2 = 4 $. Так как ветви параболы $ y = x^2 - x - 12 $ направлены вверх, решение неравенства: $ x \in (-\infty; -3] \cup [4; +\infty) $.

2. Решим второе неравенство: $ -x^2 - x + 6 \ge 0 $, что эквивалентно $ x^2 + x - 6 \le 0 $.
Корни уравнения $ x^2 + x - 6 = 0 $ равны $ x_1 = -3 $ и $ x_2 = 2 $. Так как ветви параболы $ y = x^2 + x - 6 $ направлены вверх, решение неравенства: $ x \in [-3; 2] $.

3. Найдем ОДЗ как пересечение полученных множеств: $ ((-\infty; -3] \cup [4; +\infty)) \cap [-3; 2] $. Пересечением этих двух множеств является единственная точка $ x = -3 $.

Область допустимых значений состоит из единственного значения $ x = -3 $. Проверим его, подставив в исходное неравенство:

$ \sqrt{(-3)^2 - (-3) - 12} + \sqrt{-(-3)^2 - (-3) + 6} \le (-3)^2 - 9 $

$ \sqrt{9 + 3 - 12} + \sqrt{-9 + 3 + 6} \le 9 - 9 $

$ \sqrt{0} + \sqrt{0} \le 0 $

$ 0 \le 0 $

Неравенство верно, значит, $ x = -3 $ является решением.

Ответ: $ \{-3\} $.