Номер 2.102, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.11. Системы рациональных неравенств. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.102, страница 92.

2.102* При каких значениях $a$ система неравенств:

$$\begin{cases} x^2 - 8x + 15 \ge 0 \\ x^2 - (a + 4)x + 4a \le 0 \end{cases}$$

a) имеет единственное решение;

б) не имеет решений;

в) имеет бесконечно много решений?

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 8x + 15 \ge 0 \\ x^2 - (a + 4)x + 4a \le 0 \end{cases} $

Для решения задачи проанализируем каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 8x + 15 \ge 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Парабола $y = x^2 - 8x + 15$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 - 8x + 15 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Таким образом, множество решений первого неравенства: $x \in (-\infty, 3] \cup [5, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - (a + 4)x + 4a \le 0$.

Это квадратное неравенство с параметром $a$. Найдем корни уравнения $x^2 - (a + 4)x + 4a = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $a+4$, а их произведение равно $4a$. Легко видеть, что корнями являются $x_1 = 4$ и $x_2 = a$.

Парабола $y = x^2 - (a + 4)x + 4a$ также имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 - (a + 4)x + 4a \le 0$ выполняется, когда $x$ находится между корнями.

Рассмотрим три случая в зависимости от соотношения между корнями $4$ и $a$:

• Если $a < 4$, то решением неравенства является отрезок $x \in [a, 4]$.
• Если $a = 4$, то неравенство принимает вид $(x-4)^2 \le 0$, что верно только при $x = 4$. Решение — единственная точка $x=4$.
• Если $a > 4$, то решением неравенства является отрезок $x \in [4, a]$.

Решением исходной системы является пересечение множеств решений первого и второго неравенств. Обозначим множество решений первого неравенства как $M_1 = (-\infty, 3] \cup [5, \infty)$, а второго — как $M_2$.

а) имеет единственное решение;

Система имеет единственное решение, если пересечение множеств $M_1$ и $M_2$ состоит из одной точки. Это возможно, если отрезок $M_2$ "касается" одного из лучей множества $M_1$ в его начальной точке.

Рассмотрим случаи:

1. Если $a < 4$, то $M_2 = [a, 4]$. Пересечение $M_1 \cap M_2$ — это пересечение отрезка $[a, 4]$ с множеством $(-\infty, 3] \cup [5, \infty)$. Поскольку $4 < 5$, пересечение с лучом $[5, \infty)$ пустое. Значит, ищем пересечение $[a, 4] \cap (-\infty, 3]$. Это пересечение будет состоять из одной точки, только если $a = 3$. В этом случае $M_2 = [3, 4]$, а пересечение $M_1 \cap M_2 = \{3\}$. Таким образом, при $a=3$ система имеет единственное решение $x=3$.

2. Если $a = 4$, то $M_2 = \{4\}$. Точка $x=4$ не принадлежит множеству $M_1$, так как $3 < 4 < 5$. Пересечение пустое, решений нет.

3. Если $a > 4$, то $M_2 = [4, a]$. Пересечение $M_1 \cap M_2$ — это пересечение отрезка $[4, a]$ с множеством $(-\infty, 3] \cup [5, \infty)$. Поскольку $4 > 3$, пересечение с лучом $(-\infty, 3]$ пустое. Ищем пересечение $[4, a] \cap [5, \infty)$. Это пересечение будет состоять из одной точки, только если $a=5$. В этом случае $M_2 = [4, 5]$, а пересечение $M_1 \cap M_2 = \{5\}$. Таким образом, при $a=5$ система имеет единственное решение $x=5$.

Ответ: $a=3, a=5$.

б) не имеет решений;

Система не имеет решений, если пересечение множеств $M_1$ и $M_2$ пусто. Это происходит, когда множество $M_2$ целиком попадает в "промежуток" $(3, 5)$ множества $M_1$.

Рассмотрим случаи:

1. Если $a < 4$, то $M_2 = [a, 4]$. Пересечение с $M_1$ пусто, если отрезок $[a, 4]$ не пересекается с $(-\infty, 3]$. Это произойдет, если $a > 3$. Таким образом, при $3 < a < 4$ решений нет.

2. Если $a = 4$, то $M_2 = \{4\}$. Как мы уже выяснили, точка $x=4$ не входит в $M_1$, поэтому решений нет.

3. Если $a > 4$, то $M_2 = [4, a]$. Пересечение с $M_1$ пусто, если отрезок $[4, a]$ не пересекается с $[5, \infty)$. Это произойдет, если $a < 5$. Таким образом, при $4 < a < 5$ решений нет.

Объединяя все эти случаи, получаем, что система не имеет решений, когда $a$ принадлежит интервалу $(3, 5)$.

Ответ: $a \in (3, 5)$.

в) имеет бесконечно много решений?

Система имеет бесконечно много решений, если пересечение множеств $M_1$ и $M_2$ является отрезком ненулевой длины.

Рассмотрим случаи:

1. Если $a < 4$, то $M_2 = [a, 4]$. Пересечение $M_1 \cap M_2$ — это отрезок $[a, 3]$. Этот отрезок имеет ненулевую длину, если $a < 3$. В этом случае множество решений — $[a, 3]$.

2. Если $a = 4$, решений нет.

3. Если $a > 4$, то $M_2 = [4, a]$. Пересечение $M_1 \cap M_2$ — это отрезок $[5, a]$. Этот отрезок имеет ненулевую длину, если $a > 5$. В этом случае множество решений — $[5, a]$.

Следовательно, система имеет бесконечно много решений при $a < 3$ или при $a > 5$.

Ответ: $a \in (-\infty, 3) \cup (5, \infty)$.