Номер 2.96, страница 90 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.11. Системы рациональных неравенств. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.96, страница 90.

2.96 a) $\begin{cases} (x - 1)(x - 2) < 0 \\ x (x - 3) > 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x + 10)(x - 13) > 0 \\ (x + 8)(x - 12) < 0; \end{cases}$

В) $\begin{cases} x^2 - 4 \le 0 \\ x \ge 9; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} x^2 - 9 \ge 0 \\ x \le -2. \end{cases}$

а)

Решим первое неравенство системы $(x-1)(x-2)<0$. Корнями соответствующего уравнения $(x-1)(x-2)=0$ являются $x=1$ и $x=2$. Поскольку график функции $y=(x-1)(x-2)$ — это парабола с ветвями, направленными вверх, неравенство выполняется на интервале между корнями. Решение первого неравенства: $x \in (1, 2)$.

Решим второе неравенство системы $x(x-3)>0$. Корнями соответствующего уравнения $x(x-3)=0$ являются $x=0$ и $x=3$. График функции $y=x(x-3)$ — это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями. Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.

Чтобы найти решение системы, нужно найти пересечение полученных множеств: $(1, 2) \cap ((-\infty, 0) \cup (3, \infty))$. Эти множества не имеют общих точек, следовательно, пересечение пустое.

Ответ: $\emptyset$

б)

Решим первое неравенство системы $(x+10)(x-13)>0$. Корнями уравнения $(x+10)(x-13)=0$ являются $x=-10$ и $x=13$. Это парабола с ветвями вверх, значит, неравенство выполняется за пределами отрезка между корнями. Решение: $x \in (-\infty, -10) \cup (13, \infty)$.

Решим второе неравенство системы $(x+8)(x-12)<0$. Корнями уравнения $(x+8)(x-12)=0$ являются $x=-8$ и $x=12$. Это парабола с ветвями вверх, значит, неравенство выполняется на интервале между корнями. Решение: $x \in (-8, 12)$.

Найдем пересечение множеств решений: $((-\infty, -10) \cup (13, \infty)) \cap (-8, 12)$. У этих множеств нет общих точек.

Ответ: $\emptyset$

в)

Решим первое неравенство системы $x^2-4 \le 0$. Разложим левую часть на множители: $(x-2)(x+2) \le 0$. Корнями уравнения $(x-2)(x+2)=0$ являются $x=-2$ и $x=2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни. Решение: $x \in [-2, 2]$.

Второе неравенство системы $x \ge 9$. Его решением является числовой луч $x \in [9, \infty)$.

Найдем пересечение множеств решений: $[-2, 2] \cap [9, \infty)$. Данные отрезки не пересекаются.

Ответ: $\emptyset$

г)

Решим первое неравенство системы $x^2-9 \ge 0$. Разложим левую часть на множители: $(x-3)(x+3) \ge 0$. Корнями уравнения $(x-3)(x+3)=0$ являются $x=-3$ и $x=3$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется за пределами отрезка между корнями, включая сами корни. Решение: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

Второе неравенство системы $x \le -2$. Его решением является числовой луч $x \in (-\infty, -2]$.

Найдем пересечение множеств решений: $((-\infty, -3] \cup [3, \infty)) \cap (-\infty, -2]$. Пересечением луча $(-\infty, -3]$ с лучом $(-\infty, -2]$ является луч $(-\infty, -3]$. Пересечение луча $[3, \infty)$ с лучом $(-\infty, -2]$ является пустым множеством. Таким образом, решением системы является объединение полученных результатов.

Ответ: $x \in (-\infty, -3]$