Номер 2.99, страница 90 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.11. Системы рациональных неравенств. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.99, страница 90.

2.99 а) $\begin{cases} \frac{(x+2)(x-1)}{x+1} > 0 \\ x+3 \le 0 \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{(x-2)(x+3)}{x-1} \le 0 \\ x+2 < 0 \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{x+3}{x^2-9} \le 0 \\ \frac{x^2-4}{x+2} \ge 0 \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{x+1}{x^2-1} \le 0 \\ \frac{x^2-16}{x-4} \ge 0 \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{(x+2)(x-1)}{x+1} > 0 \\ x+3 \le 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство $\frac{(x+2)(x-1)}{x+1} > 0$ методом интервалов.
Найдем нули числителя: $x+2=0 \Rightarrow x=-2$; $x-1=0 \Rightarrow x=1$.
Найдем нуль знаменателя (точка разрыва): $x+1=0 \Rightarrow x=-1$.
Отметим точки -2, -1, 1 на числовой прямой. Они разбивают прямую на интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, \infty)$.
Определим знаки выражения на каждом интервале:
- на интервале $(1, \infty)$ (например, $x=2$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$;
- на интервале $(-1, 1)$ (например, $x=0$): $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$;
- на интервале $(-2, -1)$ (например, $x=-1.5$): $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$;
- на интервале $(-\infty, -2)$ (например, $x=-3$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.
Решением неравенства являются интервалы, где выражение больше нуля: $x \in (-2, -1) \cup (1, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x+3 \le 0$.
$x \le -3$.
Решением является промежуток $x \in (-\infty, -3]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-2, -1) \cup (1, \infty)$ и $x \in (-\infty, -3]$.
Пересечение этих множеств является пустым множеством, так как нет чисел, которые одновременно удовлетворяли бы обоим условиям.
Ответ: $\emptyset$.

б)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{(x-2)(x+3)}{x-1} \le 0 \\ x+2 < 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство $\frac{(x-2)(x+3)}{x-1} \le 0$ методом интервалов.
Нули числителя: $x-2=0 \Rightarrow x=2$; $x+3=0 \Rightarrow x=-3$. Эти точки включаются в решение, так как неравенство нестрогое.
Нуль знаменателя (точка разрыва): $x-1=0 \Rightarrow x=1$. Эта точка исключается из решения.
Отметим точки -3, 1, 2 на числовой прямой.
Определим знаки выражения на интервалах:
- на интервале $(2, \infty)$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$;
- на интервале $(1, 2)$: $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$;
- на интервале $(-3, 1)$: $\frac{(-)(+)}{(-)} > 0$;
- на интервале $(-\infty, -3)$: $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.
Решением неравенства являются промежутки, где выражение меньше или равно нулю: $x \in (-\infty, -3] \cup (1, 2]$.

2. Решим второе неравенство: $x+2 < 0$.
$x < -2$.
Решением является промежуток $x \in (-\infty, -2)$.

3. Найдем пересечение решений: $x \in (-\infty, -3] \cup (1, 2]$ и $x \in (-\infty, -2)$.
Пересечение $(-\infty, -3]$ с $(-\infty, -2)$ дает $(-\infty, -3]$.
Пересечение $(1, 2]$ с $(-\infty, -2)$ является пустым множеством.
Объединив результаты, получаем итоговое решение системы.
Ответ: $(-\infty, -3]$.

в)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{x+3}{x^2-9} \le 0 \\ \frac{x^2-4}{x+2} \ge 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство $\frac{x+3}{x^2-9} \le 0$.
Разложим знаменатель на множители: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$.
Неравенство принимает вид $\frac{x+3}{(x-3)(x+3)} \le 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x^2-9 \ne 0$, то есть $x \ne 3$ и $x \ne -3$.
При $x \ne -3$ можно сократить дробь на $(x+3)$, получив $\frac{1}{x-3} \le 0$. Так как выражение не может быть равно нулю (числитель 1), то $\frac{1}{x-3} < 0$.
Поскольку числитель $1$ положителен, знаменатель должен быть отрицателен: $x-3 < 0 \Rightarrow x < 3$.
С учетом ОДЗ ($x \ne -3$), решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, 3)$.

2. Решим второе неравенство $\frac{x^2-4}{x+2} \ge 0$.
Разложим числитель: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$.
Неравенство принимает вид $\frac{(x-2)(x+2)}{x+2} \ge 0$.
ОДЗ: $x+2 \ne 0 \Rightarrow x \ne -2$.
При $x \ne -2$ можно сократить дробь на $(x+2)$, получив $x-2 \ge 0$.
Отсюда $x \ge 2$.
Решение второго неравенства: $x \in [2, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, 3)$ и $x \in [2, \infty)$.
Пересекая эти два множества, получаем $x \in [2, 3)$.
Ответ: $[2, 3)$.

г)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{x+1}{x^2-1} \le 0 \\ \frac{x^2-16}{x-4} \ge 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство $\frac{x+1}{x^2-1} \le 0$.
Разложим знаменатель: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.
Неравенство: $\frac{x+1}{(x-1)(x+1)} \le 0$.
ОДЗ: $x^2-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$ и $x \ne -1$.
При $x \ne -1$ сокращаем на $(x+1)$: $\frac{1}{x-1} \le 0$. Так как выражение не может быть равно нулю, то $\frac{1}{x-1} < 0$.
Так как числитель положителен, знаменатель должен быть отрицателен: $x-1 < 0 \Rightarrow x < 1$.
С учетом ОДЗ ($x \ne -1$), решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1)$.

2. Решим второе неравенство $\frac{x^2-16}{x-4} \ge 0$.
Разложим числитель: $x^2-16 = (x-4)(x+4)$.
Неравенство: $\frac{(x-4)(x+4)}{x-4} \ge 0$.
ОДЗ: $x-4 \ne 0 \Rightarrow x \ne 4$.
При $x \ne 4$ сокращаем на $(x-4)$: $x+4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -4$.
С учетом ОДЗ, решение: $x \in [-4, 4) \cup (4, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1)$ и $x \in [-4, 4) \cup (4, \infty)$.
Пересечение $(-\infty, -1)$ с $[-4, 4) \cup (4, \infty)$ дает $[-4, -1)$.
Пересечение $(-1, 1)$ с $[-4, 4) \cup (4, \infty)$ дает $(-1, 1)$.
Объединяя эти два промежутка, получаем итоговое решение системы.
Ответ: $[-4, -1) \cup (-1, 1)$.