Номер 2.106, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.11. Системы рациональных неравенств. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.106, страница 92.

2.106* Решите уравнение:

a) $\sqrt{x^2 - 7x + 6} + \sqrt{-x^2 + 6x - 5} = |x| - 1;$

б) $\sqrt{x^2 - 4x + 3} + \sqrt{-x^2 + 5x - 6} = 3 - |x|.$

а) $\sqrt{x^2 - 7x + 6} + \sqrt{-x^2 + 6x - 5} = |x| - 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x^2 - 7x + 6 \ge 0 \\ -x^2 + 6x - 5 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 7x + 6 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 7x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 6$.

Парабола $y = x^2 - 7x + 6$ ветвями вверх, следовательно, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [6, \infty)$.

Решим второе неравенство: $-x^2 + 6x - 5 \ge 0$. Умножим на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 6x + 5 \le 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Парабола $y = x^2 - 6x + 5$ ветвями вверх, следовательно, неравенство выполняется при $x \in [1, 5]$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств решений, чтобы определить ОДЗ:

$((-\infty, 1] \cup [6, \infty)) \cap [1, 5]$

Пересечением этих двух множеств является единственное число $x = 1$.

Таким образом, ОДЗ уравнения состоит из одного значения: $x = 1$.

Подставим это значение в исходное уравнение, чтобы проверить, является ли оно корнем:

$\sqrt{1^2 - 7 \cdot 1 + 6} + \sqrt{-1^2 + 6 \cdot 1 - 5} = |1| - 1$

$\sqrt{1 - 7 + 6} + \sqrt{-1 + 6 - 5} = 1 - 1$

$\sqrt{0} + \sqrt{0} = 0$

$0 = 0$

Равенство верное, следовательно, $x = 1$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $1$.

б) $\sqrt{x^2 - 4x + 3} + \sqrt{-x^2 + 5x - 6} = 3 - |x|$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x^2 - 4x + 3 \ge 0 \\ -x^2 + 5x - 6 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 4x + 3 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - 4x + 3$ ветвями вверх, следовательно, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty)$.

Решим второе неравенство: $-x^2 + 5x - 6 \ge 0$. Умножим на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 5x + 6 \le 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - 5x + 6$ ветвями вверх, следовательно, неравенство выполняется при $x \in [2, 3]$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств решений, чтобы определить ОДЗ:

$((-\infty, 1] \cup [3, \infty)) \cap [2, 3]$

Пересечением этих двух множеств является единственное число $x = 3$.

Таким образом, ОДЗ уравнения состоит из одного значения: $x = 3$.

Подставим это значение в исходное уравнение, чтобы проверить, является ли оно корнем:

$\sqrt{3^2 - 4 \cdot 3 + 3} + \sqrt{-3^2 + 5 \cdot 3 - 6} = 3 - |3|$

$\sqrt{9 - 12 + 3} + \sqrt{-9 + 15 - 6} = 3 - 3$

$\sqrt{0} + \sqrt{0} = 0$

$0 = 0$

Равенство верное, следовательно, $x = 3$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $3$.