Номер 3.6, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.1. Понятие функции и ее графика. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.6, страница 96.

3.6 а) $y = \frac{1}{x};$

б) $y = \frac{4}{x} + 2;$

в) $y = \frac{6}{x - 2};$

г) $y = \frac{6}{x + 1} - 1;$

д) $y = \frac{4x + 2}{x + 1};$

е) $y = \frac{1}{|x|}.$

а) $y = \frac{1}{x}$

Это основная функция обратной пропорциональности, её график — гипербола.

1. Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Область значений: Функция никогда не принимает значение 0, так как дробь $\frac{1}{x}$ равна нулю только если числитель равен нулю, что не так. Область значений $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: прямая $x = 0$ (ось Oy), так как при $x \to 0$ значение $y \to \infty$.
- Горизонтальная асимптота: прямая $y = 0$ (ось Ox), так как при $x \to \pm\infty$ значение $y \to 0$.

4. График: Гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. Функция является нечётной, так как $y(-x) = \frac{1}{-x} = -y(x)$, поэтому её график симметричен относительно начала координат.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Асимптоты: $x=0$, $y=0$.

б) $y = \frac{4}{x} + 2$

График этой функции получается из графика $y = \frac{4}{x}$ сдвигом на 2 единицы вверх по оси Oy.

1. Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = 0$. Она не меняется, так как сдвига по горизонтали не было.
- Горизонтальная асимптота: $y = 2$. Так как график сдвинут на 2 единицы вверх, горизонтальная асимптота $y=0$ для функции $\frac{4}{x}$ также сдвигается на 2 единицы вверх.

3. Область значений: Так как $\frac{4}{x} \neq 0$, то $y = \frac{4}{x} + 2 \neq 2$. Область значений $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

4. Точки пересечения с осями:
- С осью Ox ($y=0$): $0 = \frac{4}{x} + 2 \Rightarrow \frac{4}{x} = -2 \Rightarrow x = -2$. Точка пересечения $(-2; 0)$.
- С осью Oy ($x=0$): пересечения нет, так как $x=0$ не входит в область определения.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $y \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. Асимптоты: $x=0$, $y=2$.

в) $y = \frac{6}{x-2}$

График этой функции получается из графика $y = \frac{6}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо по оси Ox.

1. Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю, $x-2 \neq 0$, следовательно $x \neq 2$. Область определения $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = 2$. Так как график сдвинут на 2 единицы вправо, вертикальная асимптота $x=0$ для функции $\frac{6}{x}$ также сдвигается на 2 единицы вправо.
- Горизонтальная асимптота: $y = 0$. Сдвига по вертикали не было.

3. Область значений: Так как дробь $\frac{6}{x-2}$ не может быть равна нулю, область значений $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

4. Точки пересечения с осями:
- С осью Ox ($y=0$): $\frac{6}{x-2} = 0$. Это уравнение не имеет решений. Пересечения с осью Ox нет.
- С осью Oy ($x=0$): $y = \frac{6}{0-2} = -3$. Точка пересечения $(0; -3)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. Область значений: $y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Асимптоты: $x=2$, $y=0$.

г) $y = \frac{6}{x+1} - 1$

График этой функции получается из графика $y = \frac{6}{x}$ сдвигом на 1 единицу влево по оси Ox и на 1 единицу вниз по оси Oy.

1. Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю, $x+1 \neq 0$, следовательно $x \neq -1$. Область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = -1$ (сдвиг влево на 1).
- Горизонтальная асимптота: $y = -1$ (сдвиг вниз на 1).

3. Область значений: Так как $\frac{6}{x+1} \neq 0$, то $y = \frac{6}{x+1} - 1 \neq -1$. Область значений $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

4. Точки пересечения с осями:
- С осью Ox ($y=0$): $0 = \frac{6}{x+1} - 1 \Rightarrow \frac{6}{x+1} = 1 \Rightarrow x+1=6 \Rightarrow x=5$. Точка пересечения $(5; 0)$.
- С осью Oy ($x=0$): $y = \frac{6}{0+1} - 1 = 6-1=5$. Точка пересечения $(0; 5)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Область значений: $y \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Асимптоты: $x=-1$, $y=-1$.

д) $y = \frac{4x+2}{x+1}$

Преобразуем выражение, выделив целую часть:
$y = \frac{4x+4-2}{x+1} = \frac{4(x+1)-2}{x+1} = \frac{4(x+1)}{x+1} - \frac{2}{x+1} = 4 - \frac{2}{x+1}$.
График этой функции получается из графика $y = -\frac{2}{x}$ сдвигом на 1 единицу влево по оси Ox и на 4 единицы вверх по оси Oy. Знак "минус" перед дробью означает, что ветви гиперболы находятся во II и IV четвертях относительно новых асимптот.

1. Область определения: Знаменатель $x+1 \neq 0$, следовательно $x \neq -1$. Область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = -1$ (сдвиг влево на 1).
- Горизонтальная асимптота: $y = 4$ (сдвиг вверх на 4). Её также можно найти как предел: $\lim_{x\to\infty} \frac{4x+2}{x+1} = \frac{4}{1} = 4$.

3. Область значений: Из преобразованного вида $y = 4 - \frac{2}{x+1}$ видно, что $y \neq 4$. Область значений $E(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

4. Точки пересечения с осями:
- С осью Ox ($y=0$): $0 = \frac{4x+2}{x+1} \Rightarrow 4x+2=0 \Rightarrow x = -0.5$. Точка пересечения $(-0.5; 0)$.
- С осью Oy ($x=0$): $y = \frac{4(0)+2}{0+1} = 2$. Точка пересечения $(0; 2)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Область значений: $y \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$. Асимптоты: $x=-1$, $y=4$.

е) $y = \frac{1}{|x|}$

Эта функция определяется как $y = \frac{1}{x}$ при $x > 0$ и $y = \frac{1}{-x}$ при $x < 0$.

1. Область определения: Знаменатель $|x| \neq 0$, следовательно $x \neq 0$. Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Свойства графика: График получается из графика функции $y=\frac{1}{x}$ следующим образом: часть графика при $x>0$ (в I четверти) остается без изменений, а часть графика при $x<0$ заменяется на симметричное отражение части для $x>0$ относительно оси Oy. Таким образом, обе ветви гиперболы находятся выше оси Ox.

3. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy).
- Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox).

4. Область значений: Так как $|x| > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y = \frac{1}{|x|}$ всегда будет положительным. Область значений $E(y) = (0; +\infty)$.

5. Чётность: Функция является чётной, так как $y(-x) = \frac{1}{|-x|} = \frac{1}{|x|} = y(x)$. Её график симметричен относительно оси Oy.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $y \in (0; +\infty)$. Асимптоты: $x=0$, $y=0$.