Номер 3.5, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 3. Корень степени n. 3.1. Понятие функции и ее графика - номер 3.5, страница 96.

Условие.

3.5 a) $y = x^2$;

б) $y = x^2 - 4$;

в) $y = (x - 1)^2$;

г) $y = (x - 3)^2 + 2$;

д) $y = x^2 - 6x + 8$;

е) $y = |x^2 - 6x + 8|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $y = x^2$

Это основная квадратичная функция, ее график — парабола.

1. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (то есть $a=1$), он положителен, поэтому ветви параболы направлены вверх.

2. Вершина параболы находится в точке с координатами $(x_0, y_0)$. Для функции $y=ax^2+bx+c$ координаты вершины вычисляются по формулам $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$. В данном случае $a=1, b=0, c=0$, поэтому:
$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$
$y_0 = 0^2 = 0$
Вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.

3. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину, $x = x_0$. В данном случае это прямая $x = 0$, то есть ось ординат (ось Oy).

4. График проходит через точки $(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Ось симметрии - ось Oy.

б) $y = x^2 - 4$

График этой функции — парабола, которую можно получить из графика $y=x^2$ с помощью параллельного переноса (сдвига).

1. Данный график получается путем сдвига параболы $y=x^2$ на 4 единицы вниз вдоль оси Oy.

2. Вершина параболы также смещается на 4 единицы вниз и находится в точке $(0, -4)$. Проверим по формуле: $a=1, b=0, c=-4$.
$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$
$y_0 = 0^2 - 4 = -4$
Вершина — $(0, -4)$.

3. Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$). Ось симметрии — $x=0$.

4. Найдем точки пересечения с осями координат:
- С осью Ox (y=0): $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.
- С осью Oy (x=0): $y = 0^2 - 4 = -4$. Точка пересечения: $(0, -4)$, что совпадает с вершиной.

Ответ: Графиком является парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ на 4 единицы вниз. Вершина находится в точке $(0, -4)$, ветви направлены вверх.

в) $y = (x - 1)^2$

График этой функции — парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$.

1. Данный график получается путем сдвига параболы $y=x^2$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

2. Функция представлена в виде $y=a(x-x_0)^2+y_0$ (здесь $a=1, x_0=1, y_0=0$), из которого видно, что вершина параболы находится в точке $(1, 0)$.

3. Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$). Ось симметрии — прямая $x=1$.

4. Найдем точки пересечения с осями координат:
- С осью Ox (y=0): $(x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$. Парабола касается оси Ox в своей вершине, в точке $(1, 0)$.
- С осью Oy (x=0): $y = (0 - 1)^2 = 1$. Точка пересечения: $(0, 1)$.

Ответ: Графиком является парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ на 1 единицу вправо. Вершина находится в точке $(1, 0)$, ветви направлены вверх.

г) $y = (x - 3)^2 + 2$

График этой функции — парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$.

1. Данный график получается путем сдвига параболы $y=x^2$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox и на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

2. Функция представлена в виде $y=a(x-x_0)^2+y_0$, из которого видно, что вершина параболы находится в точке $(3, 2)$.

3. Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$). Ось симметрии — прямая $x=3$.

4. Найдем точки пересечения с осями координат:
- С осью Ox (y=0): $(x - 3)^2 + 2 = 0 \Rightarrow (x - 3)^2 = -2$. Уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, график не пересекает ось Ox.
- С осью Oy (x=0): $y = (0 - 3)^2 + 2 = 9 + 2 = 11$. Точка пересечения: $(0, 11)$.

Ответ: Графиком является парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ на 3 единицы вправо и 2 единицы вверх. Вершина находится в точке $(3, 2)$, ветви направлены вверх.

д) $y = x^2 - 6x + 8$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Для удобства анализа и построения выделим полный квадрат.

1. Преобразование выражения:
$y = (x^2 - 6x) + 8 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - 3^2) + 8 = (x-3)^2 - 9 + 8 = (x-3)^2 - 1$.

2. Из полученного вида $y = (x-3)^2 - 1$ следует, что это парабола $y=x^2$, сдвинутая на 3 единицы вправо и на 1 единицу вниз.

3. Вершина параболы находится в точке $(3, -1)$. Ветви направлены вверх ($a=1>0$). Ось симметрии — $x=3$.

4. Найдем точки пересечения с осями координат:
- С осью Ox (y=0): $x^2 - 6x + 8 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни $x_1=2, x_2=4$. Точки пересечения: $(2, 0)$ и $(4, 0)$.
- С осью Oy (x=0): $y = 0^2 - 6(0) + 8 = 8$. Точка пересечения: $(0, 8)$.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(3, -1)$ и ветвями, направленными вверх. Она пересекает ось Ox в точках $(2, 0)$ и $(4, 0)$ и ось Oy в точке $(0, 8)$.

е) $y = |x^2 - 6x + 8|$

График данной функции строится на основе графика функции $f(x) = x^2 - 6x + 8$, рассмотренной в пункте д).

1. Для построения графика функции $y=|f(x)|$ необходимо ту часть графика $y=f(x)$, которая лежит ниже оси Ox, симметрично отразить относительно этой оси. Часть графика, лежащая на и выше оси Ox, остается без изменений.

2. Из пункта д) мы знаем, что парабола $y = x^2 - 6x + 8$ находится ниже оси Ox на интервале между корнями, то есть при $x \in (2, 4)$. На промежутках $(-\infty, 2]$ и $[4, \infty)$ она находится выше или на оси Ox.

3. Таким образом, для построения графика $y = |x^2 - 6x + 8|$:
- На интервалах $(-\infty, 2] \cup [4, \infty)$ график совпадает с параболой $y = x^2 - 6x + 8$.
- На интервале $(2, 4)$ мы строим график функции $y = -(x^2 - 6x + 8) = -x^2 + 6x - 8$. Эта часть графика является отражением "нижней" дуги исходной параболы.

4. Вершина исходной параболы $(3, -1)$ после отражения переходит в точку $(3, 1)$, которая является точкой локального максимума нового графика. Точки $(2, 0)$ и $(4, 0)$ являются точками "излома" графика.

Ответ: График функции получается из параболы $y=x^2-6x+8$ путем отражения ее части, расположенной под осью Ox (на интервале $x \in (2,4)$), относительно оси Ox. В результате получается график, состоящий из двух ветвей параболы, идущих в бесконечность, и "арки", соединяющей точки $(2,0)$ и $(4,0)$ с вершиной в точке $(3,1)$.